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Mines Mathématiques 1 PC 2003

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesIntégrales à paramètresSuites et séries de fonctionsSéries et familles sommables
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Banque
Mines
Année
2003
Filière
PC
Matière
Maths
Mines PCMines 2003PC MathsMaths 2003
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A 2003 Math PC 1

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2003
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES PREMIÊRE ÉPREUVE Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 1-Filière PC.
Cet énoncé comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'objet de ce problème est d'introduire suivant une méthode originale la fonction et de déterminer, à l'aide de cette fonction, une expression de l'intégrale suivante :

Première partie

Il est admis que, si la fonction réelle , définie sur un intervalle de la droite réelle , est convexe, pour toute suite croissante de trois réels , ( ) appartenant à l'intervalle , les valeurs prises par cette fonction en ces points vérifient la relation suivante :
Soit une fonction inconnue, définie sur la demi-droite ouverte , prenant des valeurs strictement positives , qui vérifie les propriétés suivantes :
i. pour tout réel strictement positif :
ii. La fonction est une fonction convexe.
iii. La fonction prend la valeur 1 en 1 :
Encadrement de et de :
Dans les quatre premières questions, est un réel appartenant à l'intervalle semi-ouvert et un entier naturel supérieur ou égal à .
  1. Démontrer les inégalités suivantes:
  1. Calculer . En déduire un encadrement de à l'aide des deux expressions et .
  2. Établir la relation qui lie, pour tout entier supérieur ou égal à , à .
  3. En déduire les inégalités suivantes :

Unicité de la fonction :

Dans les questions 5 et 6 , il est admis qu'il existe une fonction , positive , définie sur la demi-droite ouverte , vérifiant les hypothèses i, ii et iii.
Étant donné un entier strictement positif , soit la fonction définie sur la demi-droite ouverte par la relation suivante :
  1. Déterminer, en supposant le réel appartenir à l'intervalle semi-ouvert ]0, 1], la limite de la suite lorsque l'entier croît indéfiniment.
  2. En déduire la limite de la suite lorsque l'entier croît indéfiniment, pour tout réel strictement positif.
  3. En déduire qu'il existe au plus une fonction définie sur la demi-droite , strictement positive, vérifiant les propriétés i et iii.

Fonction :

Soit la fonction définie sur le quart de plan par la relation suivante :
  1. Étudier, pour un réel donné, l'intégrabilité de la fonction sur la demi-droite ouverte .
Soit la fonction définie sur la demi-droite ouverte par la relation suivante :
  1. Établir que cette fonction est strictement positive .
  2. Établir que cette fonction est deux fois continûment dérivable sur la demi-droite ouverte . Donner les expressions de ces dérivées. Préciser l'expression de la dérivée de la fonction pour , au moyen d'une intégrale.

Existence de la fonction :

  1. Démontrer que la fonction est la fonction étudiée dans les questions précédentes.
Il est admis, dans la suite, que la constante d'Euler est définie par la relation suivante :

Valeur de :

Soit la suite des fonctions définies, pour tout entier supérieur ou égal à , sur la demi-droite ouverte par la relation suivante :
  1. Déterminer, à l'aide des résultats obtenus précédemment, la limite de lorsque l'entier croît vers l'infini et que le réel appartient à la demidroite ouverte .
Soit la suite de fonctions définies, pour tout entier supérieur ou égal à , sur la demi-droite ouverte par les relations suivantes :
pour tout entier supérieur ou égal à .
13. Il est admis que chaque fonction , est continûment dérivable ; démontrer que la série des fonctions dérivées, de terme général , est convergente pour tout strictement positif puis uniformément convergente sur tout segment contenu dans la demi-droite ouverte .
14. En déduire la limite de la suite des fonctions dérivées .
15. Que vaut au moyen de la constante d'Euler ?

Seconde partie

Soit un réel donné strictement positif ( ).
Fonction :
16. Étudier la convergence de la série de terme général , défini par la relation suivante:
Soit la fonction définie sur la demi-droite ouverte par la relation :
  1. Démontrer que la série entière de terme général
est uniformément convergente sur le segment . Soit la somme de cette série :
Déterminer la fonction définie sur le segment . En déduire .
18. Soit la fonction définie sur la demi-droite ouverte , par la relation suivante :
Étudier les variations de la fonction sur son ensemble de définition. Soit l'abscisse du maximum de cette fonction. Préciser les variations de la fonction .
19. Démontrer que la fonction est continûment dérivable sur la demi-droite ouverte . Exprimer la valeur prise en 1 par la fonction dérivée , au moyen de la somme d'une série.
Expression du produit :
20. Calculer, pour tout entier strictement positif ( ), au moyen d'une valeur prise par la fonction , l'intégrale suivante :
  1. Démontrer la relation :

Calcul de l'intégrale :

Il est admis que la fonction est continûment dérivable et que sa dérivée est donnée par la relation suivante :
  1. Après avoir donné au réel la valeur 1 , effectuer le changement de variable dans l'intégrale. Effectuer un nouveau changement de variables pour obtenir l'intégrale définie dans le préambule :
En déduire une expression de l'intégrale à l'aide de la constante d'Euler et de la somme d'une série.
Remarque : un calcul de permet d'obtenir le résultat :

FIN DU PROBLÈME

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