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Mines Mathématiques 1 PC 2006

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Intégrales à paramètresSuites et séries de fonctionsFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Séries entières (et Fourier)Intégrales généralisées
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Banque
Mines
Année
2006
Filière
PC
Matière
Maths
Mines PCMines 2006PC MathsMaths 2006
2025_08_29_1e03658afa723674d2dbg
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2006

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l'épreuve : heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - PC.
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
On rappelle que la fonction Gamma est définie pour tout réel par
Cette fonction possède les deux propriétés suivantes:
  • pour tout réel strictement positif, ;
  • il est admis que
pour tous réels et .

I. Fonctions hypergéométriques

  1. Soit un réel strictement positif. Déterminer des conditions nécessaires et suffisantes sur les réels et pour que la fonction
soit intégrable sur .
2) Soit un réel strictement positif. Déterminer des conditions nécessaires et suffisantes sur les réels pour que la fonction
soit intégrable sur .
On fixe maintenant deux réels et on définit les fonctions
pour tout réel strictement positif .
3) Montrer que et sont continûment dérivables sur et que
  1. Montrer que .
  2. En déduire que le vecteur est solution d'un système différentiel linéaire sur :
où est une matrice que l'on explicitera.
6) Montrer que satisfait sur une équation différentielle linéaire d'ordre 2 que l'on explicitera.
On définit les fonctions
  1. Montrer que les fonctions satisfont les mêmes relations que respectivement, définies dans l'équation (E), que le vecteur est solution du même système différentiel que (voir (S)) et que satisfait la même équation différentielle que (trouvée à la question 6).

II. Calcul du Wronskien de (S)

  1. Montrer que pour tout et
  1. En déduire que pour tous réels
est équivalent à quand tend vers , c'est-à-dire que
quand tend .
10) Montrer, pour tous réels et et pour tout réel , l'identité:
  1. En déduire que cette intégrale est équivalente à quand tend vers .
  2. En déduire que
est équivalent à quand tend vers . Pour tous réels , on définit le Wronskien
  1. Donner un équivalent de quand tend vers .
  2. Montrer que satisfait une équation différentielle linéaire d'ordre 1 que l'on explicitera.
  3. Montrer que, pour tout réel strictement positif, .

III. Développement en série

  1. Montrer que si est un entier strictement positif
où est un polynôme de degré en la variable , que l'on explicitera.
Pour tout réel et tout entier positif , on pose
pour et .
17) Soient et deux réels. On suppose de plus que n'est pas un entier négatif. Calculer le rayon de convergence de la série entière de terme général
On note alors pour tout réel
  1. Montrer pour tout réel strictement positif , l'identité suivante:
  1. Montrer directement (sans utiliser la partie I) que la fonction est solution sur de l'équation différentielle suivante
  1. Montrer que si n'est pas un entier, on peut trouver des réels et tels que soit solution sur de la même équation différentielle.

FIN DU PROBLÈME

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