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Mines Mathématiques 1 PC 2007

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Algèbre linéaireTopologie/EVN

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Mines PC Mines 2007 PC Maths Maths 2007

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2007

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PC.

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Pseudo-inverse et matrice stochastique

Pour

, on note

l'ensemble des matrices à

lignes et

colonnes à coefficients dans

. Pour toute matrice

, on appelle endomorphisme canoniquement associé à

, l'endomorphisme de

, noté

, dont

est la matrice dans la base canonique de

représente le coefficient en ligne

et colonne

de la matrice

. On note

la matrice identité de

. La matrice (colonne) de

dont tous les coefficients valent 1 est notée

. Pour

, on considère la norme

Définition 1 On dit qu'une matrice

est positive (respectivement strictement positive), lorsque tous ses coefficients sont positifs (respectivement strictement positifs).

Une matrice positive

est dite stochastique lorsque

On désigne par

l'ensemble des matrices lignes stochastiques.
On admet le théorème suivant:
Théorème 1 (CCMP 2006, filière MP) Soit

une matrice stochastique strictement positive de

. Le réel 1 est valeur propre simple de

et il existe un unique élément de

, noté

, tel que

De plus, quel que soit

L'objectif de ce problème est de trouver une méthode de calcul de

en utilisant la notion de pseudo-inverse.
Définition 2 Soit

, une matrice

est un pseudoinverse de

lorsque les trois propriétés suivantes sont satisfaites:

Dorénavant,

est une matrice stochastique, strictement positive, de

I Préliminaires

1 - Montrer que pour toutes les matrices et .
2 - Montrer que .
3 - Montrer que pour tout est une matrice stochastique.

II Pseudo-inverse

Soit

une matrice de

et a l'endomorphisme de

canoniquement associé.

4 - Montrer que l'existence d'un pseudo-inverse implique que

Inversement, on suppose maintenant que

. On note

cet entier.

5 - Montrer que le noyau et l'image de sont en somme directe:

6 - Montrer qu'il existe inversible et inversible, telles que

7 - Montrer que admet au moins un pseudo-inverse.

Considérons un pseudo-inverse quelconque

l'endomorphisme canoniquement associé à

8 - Montrer que et sont stables par et montrer qu'il existe telle que

9 - Montrer que est un projecteur dont on précisera le noyau et l'image en fonction de ceux de et préciser ce que vaut .
10 - Montrer que admet au plus un pseudo-inverse.

III Calcul de

À tout endomorphisme

, on associe l'endomorphisme

défini par

pour tout

appartenant à

. Dans les questions suivantes, on note

l'endomorphisme de

dont la matrice dans la base canonique de

est

11 - Montrer que .
12 - Montrer que

13 - Montrer que .

On note

, le pseudo-inverse de

dont l'existence et l'unicité sont garanties par ce qui précède.

14 - Soit inversible. Établir, pour tout entier non nul , l'identité

15 - Établir, pour tout entier non nul , l'identité suivante:

16 - Montrer que

existe et donner sa valeur.

17 - Montrer que ( ) est stochastique et que .
18 - Montrer que .