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Mines Mathématiques 1 PC 2011

Inégalité de Prékopa et Leindler

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Algèbre généraleAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesIntégrales généralisées
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Mines
Année
2011
Filière
PC
Matière
Maths
Mines PCMines 2011PC MathsMaths 2011
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A 2011 MATH I PC

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS 2011

PREMIÊRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l'épreuve : trois heures)

L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Inégalité de Prékopa et Leindler.

Notations.

On notera l'ensemble des nombres réels, l'ensemble des nombres réels positifs et l'ensemble des nombres réels strictement positifs. On désignera par l'ensemble des entiers naturels et par l'ensemble des entiers naturels strictement positifs.
Soit . On notera (resp. ) l'ensemble des fonctions continues de dans (resp. dans ).
Soient et deux parties non vides de . Pour tous réels et on notera la partie de définie par
En particulier pour , on écrit .
Si désigne une fonction bornée sur alors on pose . Soit un intervalle non vide de . On rappelle qu'une fonction est dite convexe si:
L'opposée d'une fonction convexe est une fonction concave.
On rappelle que si est de classe sur , alors est convexe si et seulement sa dérivée est croissante (au sens large) sur .
Pour toute fonction , tous et , on écrira pour .

Partie I. Une inégalité de Prékopa et Leindler.

  1. Soient un réel dans l'intervalle , et et deux réels positifs. Montrer que
(on pourra introduire une certaine fonction auxiliaire dont on justifiera la concavité). Montrer en outre que pour tout réel ,
  1. Soient et deux réels positifs et un réel dans . Montrer que
Dans toute cette partie est un réel appartenant à l'intervalle et sont des fonctions de intégrables qui satisfont l'inégalité suivante
Le but de cette partie est de montrer l'inégalité suivante, à laquelle on fera référence par "inégalité de Prékopa et Leindler", ou en abrégé "P-L":
Dans les questions 3), 4) et 5) on supposera de plus que et sont strictement positives, c'est-à-dire pour tout réel et .
3) On note et . Montrer que pour tout dans l'intervalle ]0, 1 [ il existe un unique réel noté et un unique réel noté tels que
(On pourra étudier les variations de la fonction : ).
4) Montrer que les applications et sont de classe sur l'intervalle et, calculer pour chaque les nombres dérivés et .
5) Montrer que l'ensemble image de l'application définie sur par
est égal à . Puis prouver que définit un changement de variable de sur . En utilisant ce dernier et , montrer que et satisfont l'inégalité "P-L" (1).
On pose pour tout réel .
A partir de maintenant, on suppose que les fonctions et sont seulement à valeurs positives ou nulles.
6) Prouver que pour tous ,
Soit un réel strictement positif. On suppose dans les questions 7), 8) et 9) que et sont nulles en dehors de l'intervalle . On note , et, . Pour chaque réel on pose:
  1. Soit . On pose . Prouver que si alors . De même, prouver que si alors .
  2. Soit et . Montrer que
où . On commencera par appliquer l'inégalité de la question 2 , puis les deux questions précédentes. On rappelle que si et que si .
9) En déduire que si et sont nulles en dehors d'un intervalle borné alors l'inégalité "P-L" est satisfaite.
Soit . On désigne par la fonction continue qui vaut 1 sur , qui vaut 0 sur et qui est affine sur chacun des deux intervalles et .
10) Soit . Montrer que:
  1. Montrer que l'inégalité "P-L" (1) est satisfaite (si on choisit d'utiliser le théorème de convergence dominée alors on vérifiera soigneusement que ses conditions de validité sont remplies).

Partie II. Fonctions log-concaves.

Soit un entier strictement positif. On dira qu'une fonction de dans est -concave si pour tout dans l'intervalle
  1. Soit une norme sur l'espace vectoriel . Prouver alors que l'application définie par
est continue et log-concave sur . (On pourra observer que la fonction est convexe sur ).

Partie III. Quelques applications géométriques.

Dans cette partie on admettra que l'inégalité "P-L" démontrée dans la partie I reste vraie dans l'espace des fonctions de dans continues par morceaux et intégrables. C'est-à-dire que pour toutes fonctions de dans , continues par morceaux et intégrables sur , et pour tout dans l'intervalle tels que
l'inégalité suivante est vérifiée
Soit une fonction continue de dans . On dit que est à support borné si il existe un réel tel que est nulle en dehors du carré , c'est à dire que si ou .
On admettra que
et que cette valeur commune ne dépend pas du choix de . On définit alors l'intégrale double de sur comme la valeur commune des deux intégrales itérées écrites dans l'égalité précédente.
13) Soit et des fonctions de dans continues à support borné et telles que
Montrer que
Dans la suite on munit de la norme euclidienne canonique.
14) Soit une partie ouverte bornée non vide de . On désigne par l'ensemble des fonctions continues de dans telles que (en d'autres termes est nulle hors de ). Montrer alors que la borne supérieure
existe et définit un réel noté .
15) On considère un rectangle du plan , avec et . Calculer le réel ). Que représente-t-il? (On pourra utiliser des fonctions du type
où et sont des fonctions continues et affines par morceaux bien choisies).
16) Soient et deux parties ouvertes bornées non vides de et . Vérifier que est un ouvert borné de . Puis montrer que
Pour démontrer cette inégalité, on utilisera le résultat admis suivant. Pour tout et , la fonction déterminée par:
définit une fonction continue sur .
17) Soit une fonction continue et log-concave au sens de la partie II. Prouver que l'inégalité précédente reste vraie si on remplace l'application par l'application définie pour toute partie ouverte bornée (non vide) de par

Fin du Problème.

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