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Mines Mathématiques 1 PC 2023

Quelques inégalités de convexité autour du déterminant

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensRéductionCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
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Mines
Année
2023
Filière
PC
Matière
Maths
Mines PCMines 2023PC MathsMaths 2023
2025_08_29_522cf9f9b4bc0e6f459dg

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2023

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : heures

L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Notations et résultats admis

  • Dans tout le problème, est un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On note (resp. ) l'ensemble des matrices de taille (resp. ) à coefficients réels.
  • La matrice identité de est notée .
  • Si est le déterminant de la matrice sa trace, son spectre et sa transposée.
  • On note l'ensemble des matrices symétriques à coefficients réels de taille .
  • Sur , on définit l'application par
où est la transposée de . On admet que l'on définit ainsi un produit scalaire sur . On note la norme associée.
  • On admet que l'application est une norme sur .
  • On note (resp. ) l'ensemble des matrices symétriques telles que
  • Soit une partie non vide d'un -espace vectoriel . On dit que est convexe si : pour tous et pour tout .
  • On admet que si est une partie convexe d'un -espace vectoriel , alors pour tout , pour tout et pour tout tel que , alors .
  • Une application définie sur une partie convexe d'un -espace vectoriel
    est dite convexe si
  • Une application définie sur une partie convexe d'un -espace vectoriel est dite concave si son opposé, , est convexe, c'est-à-dire

Partie 1 : Questions préliminaires

Montrer qu'une matrice appartient à si, et seulement si, .
De même, on admettra dans la suite du problème que : si, et seulement si, .
Montrer que et sont des parties convexes de . Sont-elles des sous-espaces vectoriels de ?
Montrer que, si , il existe telle que .
Soit intervalle de . Soit une fonction convexe. Montrer que, pour tout , pour tout tel que et pour tout , on a :
Indication : On pourra procéder par récurrence sur .

Partie 2 : Une première inégalité de convexité

Soit une matrice non nulle.
Montrer l'inégalité .
Indication : On pourra montrer que est convexe sur .
On pourra dans la suite de cette partie utiliser, sans la prouver, l'inégalité ci-dessous
Exprimer en fonction des valeurs propres de .
En déduire que

Partie 3 : On continue avec de la convexité

Soient et . Montrer qu'il existe une matrice diagonale et telles que et . Que dire des éléments diagonaux de si ?
Indication : On pourra utiliser la question 3.
Étudier la convexité de la fonction .
Montrer l'inégalité
Montrer que, si et appartiennent , alors :
Justifier que cette inégalité reste valable pour et seulement dans .
Que peut-on en déduire sur la fonction ?

Partie 4 : Encore de la convexité !

Soit et soit .
Exprimer, pour tout à l'aide des valeurs propres de . En déduire que est de classe sur .
Soit . Montrer que

Partie 5 : Et pour finir... de la convexité !

Soient et . Soit l'application définie sur par
Montrer que est de classe sur .
Montrer qu'il existe tel que, pour tout .
Montrer que .
Indication : On pourra commencer par traiter le cas où .
Déterminer pour tout .
On admet que la fonction est de classe sur [. En remarquant que , montrer que
Soit . On définit l'application par
Montrer que est dérivable sur et que
Montrer que est deux fois dérivable en 0 et que
Montrer que est semblable à une matrice symétrique réelle.
Indication : On pourra utiliser la question 3.
En déduire que .
Montrer que, si , alors il existe , tel que pour tout ,

Fin du problème

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