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Mines Mathématiques 1 PC 2025

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Polynômes et fractionsRéductionAlgèbre linéaire
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Mines
Année
2025
Filière
PC
Matière
Maths
Mines PCMines 2025PC MathsMaths 2025
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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS et CHAUSSÉES, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2025

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : heures

L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Matrices semblables à leur inverse

Notations et définitions.

On note le corps des nombres complexes, l'ensemble des entiers naturels. Pour désigne l'algèbre des matrices carrées complexes de taille et le groupe des matrices complexes inversibles de taille .
On rappelle que deux matrices et de sont semblables si
Pour toute matrice le polynôme caractéristique de est défini par

Partie 1. Polynômes réciproques.

Soit . Un polynôme de degré est dit réciproque lorsqu'il satisfait l'égalité
Soit de degré . On écrit , où sont des nombres complexes, et .
Montrer que est réciproque si et seulement si pour tout entier , on a l'égalité .
Soit un polynôme de degré écrit sous forme factorisée , où sont les racines complexes distinctes de et leurs multiplicités.
Ecrire sous forme factorisée le polynôme et démontrer que si est réciproque alors pour tout entier est non nul et est racine de avec la multiplicité .
Soit un polynôme de degré . On dit que est antiréciproque si
Montrer que si est antiréciproque, 1 est une racine de et qu'il existe un polynôme constant ou réciproque tel que .
Soit un polynôme non constant de ayant la propriété suivante :
Toute racine a de est non nulle et est racine de de même multiplicité que a.
Démontrer que le produit des racines de , comptées avec multiplicités, ne peut prendre que les valeurs 1 ou -1 . On pourra remarquer que l'égalité n'a lieu que pour ou -1 .
En déduire que est réciproque ou antiréciproque.

Partie 2. Le cas diagonalisable.

Soit une matrice appartenant à .
Soit un nombre réel non nul. Exprimer en fonction de et .
On suppose dans cette question que est semblable à son inverse. Préciser les valeurs que peut prendre le déterminant de , et en déduire que est soit réciproque, soit antiréciproque.
Soit une matrice diagonalisable. On suppose que le polynôme caractéristique de est réciproque ou antiréciproque. Démontrer que est inversible et semblable à son inverse.
Montrer que la matrice n'est pas semblable à son inverse (bien que son polynôme caractéristique soit réciproque).
On pourra déterminer les espaces propres de et pour la valeur propre 2 .
Ainsi, hors du cas diagonalisable, le polynôme caractéristique ne suffit pas à caractériser les matrices semblables à leur inverse. La suite du problème se propose de caractériser ces matrices par une autre méthode.

Partie 3. Produits de matrices de symétries.

On dit qu'un endomorphisme d'un -espace vectoriel est une symétrie si . On dit qu'une matrice est une matrice de symétries si .
Démontrer que si et sont deux matrices de symétrie, la matrice produit est inversible et semblable à son inverse.
Si une matrice est un produit de deux matrices de symétries, en est-il de même de toute matrice semblable à ?
Soit et deux matrices de . Soit la matrice définie par blocs suivante :
Soit la matrice par blocs
où sont deux éléments de .
Déterminer les conditions reliant pour que les matrices et soient des matrices de symétries.
13 - En déduire que si est semblable à , alors est un produit de deux matrices de symétries.

Partie 4. La matrice .

Soit un -espace vectoriel de dimension . Soit un endomorphisme de tel que et .
Démontrer qu'il existe une base de dans laquelle la matrice de est la matrice ci-après :
Autrement dit : avec si et sinon.
Pour tout non nul, on pose .
Démontrer que est inversible et déterminer en fonction de et de la matrice telle que
Calculer et en déduire que est semblable à .
Pour tout polynôme on pose
On définit ainsi trois endomorphismes de l'espace vectoriel (il n'est pas demandé de le prouver).
Calculer et exprimer en fonction de et .
18 - Soit un polynôme non constant. Exprimer le degré du polynôme en fonction du degré de .
Déduire des questions précédentes que la matrice est un produit de deux matrices de symétries.
On pourrait démontrer par le même type de raisonnement, et on l'admet, que la matrice est un produit de deux matrices de symétries.

Partie 5. Une caractérisation des matrices semblables à leur inverse.

Soit une matrice de semblable à son inverse. On admet le résultat suivant :
A est semblable à une matrice diagonale par blocs de la forme
où les sont les valeurs propres de (pas nécessairement distinctes) et ainsi que les , des entiers naturels non nuls.
De plus la matrice est unique à l'ordre près des blocs.
Démontrer que est semblable à .
21 - En utilisant les résultats établis dans les parties précédentes, démontrer que est un produit de deux matrices de symétries.
Fin du problème
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