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Mines Mathématiques 1 PSI 2000

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensAlgèbre linéaireNombres complexes et trigonométries, calculs, outils
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Mines
Année
2000
Filière
PSI
Matière
Maths
Mines PSIMines 2000PSI MathsMaths 2000
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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2000

MATHÉMATIQUES

PREMIÈRE ÉPREUVEFILIÈRE PSI(Durée de l'épreuve : 3 heures)

Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP.

L'emploi de la calculette est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon très apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - PSI.
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, comporte 4 pages.
Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Le but de ce problème est l'étude d'endomorphismes définis par l'action d'un groupe sur un espace vectoriel de matrices complexes.
Soit l'ensemble des matrices complexes d'ordre 2 qui s'écrivent sous la forme suivante
Dans cette relation, et sont des nombres complexes, vérifie (resp. ) est le nombre complexe conjugué de (resp. ).

Partie préliminaire

0. L'ensemble est un espace vectoriel réel :

Démontrer qu'en munissant l'ensemble de l'addition des matrices et de la multiplication des matrices par un réel, l'ensemble est un espace vectoriel réel. Préciser sa dimension.
Démontrer que le produit de deux matrices et de l'espace appartient à .
Soit la matrice unité d'ordre 2. Soit une matrice appartenant à l'espace vectoriel ; la matrice transposée de la matrice est notée . Si est un entier naturel, est le produit de la matrice p-fois par elle-même ; classiquement .
Soit le sous-ensemble des matrices appartenant à l'espace dont le déterminant est égal à 1 :
Il est admis que l'ensemble est, pour le produit des matrices, un groupe.
Soit le sous-ensemble des matrices de l'espace antisymétriques dont le carré est égal à l'opposé de la matrice identité :
Soit le sous-ensemble des matrices symétriques appartenant à l'espace :
Il est admis que le sous-ensemble de est un sous-espace vectoriel réel.
Soient et deux matrices appartenant à l'espace vectoriel ; il est admis que la trace de la matrice est réelle ; soit ( ) le réel défini par la relation suivante :
L'égalité entre les traces des matrices et est admise.
Il est admis que l'espace ( , (. | .)) est un espace euclidien. Si le produit scalaire ( ), de deux matrices et , est nul, ces matrices sont dites perpendiculaires. Le sous-espace vectoriel de est un espace euclidien lorsqu'il est muni du produit scalaire induit par celui de .

Première partie

I.1. Propriétés élémentaires des matrices de l'espace :

Soit une matrice de l'espace ; démontrer que les matrices et s'expriment au moyen de la matrice identité , du déterminant det , de la trace de la matrice .
Soit une matrice appartenant à ; déduire du résultat précédent que, pour qu'une matrice de l'espace appartienne au groupe , il faut et il suffit qu'il existe une relation simple entre les matrices et .
Soit une matrice de l'espace dont la trace est nulle ( ) ; établir la relation : ; calculer les matrices , en fonction du déterminant de la matrice et de la matrice unité .

I. 2 Matrices :

Déterminer les matrices u qui appartiennent à l'ensemble défini ci-dessus.
Soit une matrice de l'espace , une matrice de l'ensemble . Comparer les deux produits de matrices : m.u et u. . Démontrer que, lorsque la trace de la matrice est nulle ( Trm = 0), les deux matrices m.u et и.m appartiennent au sous-espace vectoriel V.

I.3. Norme d'une matrice :

Soit une matrice de l'espace ; calculer la norme de la matrice en fonction du déterminant de cette matrice. Comparer pour deux matrices et de l'espace la norme du produit des matrices et avec le produit des normes de ces matrices.

I.4. Matrices appartenant à :

a. Démontrer que toute matrice appartenant au groupe s'écrit, de manière unique, sous la forme
où est un réel appartenant au segment et une matrice de trace nulle ( ) qui appartient à .
Calculer, en fonction du réel , le déterminant de la matrice , ainsi définie à partir de la matrice , ainsi que le carré de la matrice .
b. Soit une matrice de l'espace différente de : démontrer que la matrice définie par la relation ci-dessous appartient au groupe :

I-5 Un sous-groupe de :

Soit une matrice de trace nulle ( ) appartenant à ; soit l'ensemble des matrices définies par la relation suivante
où un réel quelconque appartenant au segment ; soit :
Démontrer que l'ensemble est un sous-groupe commutatif du groupe .

Deuxième partie

Cette partie est consacrée à l'étude d'une application définie dans le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de à l'aide d'une matrice du groupe .
Dans toute cette partie, est une matrice donnée du groupe , de trace nulle ( ) ; étant donnée une matrice appartenant au sous-espace vectoriel soit la matrice définie par la relation suivante :

II-1. L'endomorphisme de :

a. Déterminer la dimension du sous-espace vectoriel réel de l'espace vectoriel . Déterminer une base de ce sous-espace vectoriel.
b. Démontrer que l'application est un endomorphisme de l'espace vectoriel . Démontrer que cet endomorphisme n'est pas nul.

II-2. Propriétés de l'endomorphisme :

a. Comparer l'endomorphisme à l'endomorphisme . Calculer l'expression en fonction de .
Comparer les deux normes et .
Calculer, pour une matrice de l'ensemble , l'expression .
b. Déterminer une relation simple qui lie, pour deux matrices quelconques et de l'espace , les produits scalaires et .
En déduire l'endomorphisme adjoint de l'endomorphisme .
c. Déduire des résultats précédents, que, pour toute matrice de , les matrices et sont perpendiculaires.

II-3. Une base de l'espace :

Etant données une matrice de l'espace vectoriel telle que son image par l'endomorphisme soit différente de ), une matrice de l'ensemble ( appartient à , est antisymétrique, ), soient le produit des matrices et , l'image de la matrice par l'application le produit des matrices et :
a. Calculer les produits scalaires de la matrice avec chacune des matrices , et des matrices , deux à deux :
b. Démontrer que la suite des matrices , est une base de l'espace vectoriel . Déduire de cette base une base orthonormée. Quelle est la matrice associée à l'endomorphisme dans cette base ? Déterminer la transformation géométrique associée à l'endomorphisme .

II-4. Un endomorphisme de l'espace vectoriel :

Soit un réel donné appartenant au segment ; soit la matrice appartenant au groupe (question I-5) définie par la relation suivante :
Soit l'application qui, à une matrice de l'espace vectoriel , associe la matrice .
Déterminer la matrice associée à l'endomorphisme dans la base définie par les matrices .

FIN DU PROBLEME

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