ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière MP). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS 2014

(Durée de l'épreuve : trois heures) L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

On note l'ensemble des entiers naturels, l'ensemble des réels, l'ensemble des réels positifs ou nuls et l'ensemble des matrices à coefficients réels.

Dans tout le problème, est un espace vectoriel de dimension sur le corps des réels et T un endomorphisme de .

Si est une base de , on note la matrice représentant T dans cette base.
On note le noyau de T et l'image de T , rg T le rang de T et le spectre de T.

On appelle projecteur un endomorphisme P de idempotent, c'est-à-dire tel que .

On note I l'endomorphisme identité de la matrice identité de et la matrice nulle.

Si , on appelle trace de le nombre réel suivant :

Question 1 Soient et , montrer que .
Question 2 Soit T un endomorphisme de , montrer que la trace de la matrice associée à T est indépendante de la base .

On appelle trace de T , notée , la valeur commune des traces des matrices représentant T . On dit que la trace est un invariant de similitude.

Question 3 Soit P un projecteur de , démontrer que .
Question 4 En déduire que .
Question 5 Démontrer que la dimension de la somme de deux sous-espaces F et de est inférieure ou égale à la somme de leurs dimensions.
Question 6 Soit S un endomorphisme de . Montrer que si S est une somme finie de projecteurs , alors et .

On considère maintenant le cas où est un espace (pré)hilbertien. On dit que est symétrique positif s'il est symétrique et si

Question 7 Montrer que T , supposé symétrique, est positif si et seulement si . Question 8 Montrer qu'un projecteur P est un projecteur orthogonal si et seulement si il vérifie

Question 9 Montrer qu'un projecteur est un projecteur orthogonal si et seulement si il est symétrique; montrer également qu'un projecteur orthogonal est positif.

On suppose désormais que T est symétrique positif et vérifie et rgT.

On note le nombre de valeurs propres strictement positives de T , comptées avec leur multiplicité. On note les vecteurs d'une base propre de T orthonormée, ordonnés de telle façon que les valeurs propres associées soient strictement positives si et seulement si . On note l'espace engendré par les et celui engendré par les .

Question 10 Montrer que , ainsi que .
Pour , on note l'endomorphisme de défini par

Question 11 Montrer que est un projecteur orthogonal de rang 1.
Question 12 On se place dans le cas particulier où . Montrer qu'on peut choisir tel que soit symétrique positif et vérifie . Quelle est la valeur de ?
Question 13 On se place maintenant dans le cas général où . Déduire de la question 12 qu'il existe S symétrique positif tel que soit stable par et que soit la somme de projecteurs orthogonaux de rang 1 .

On note les valeurs propres strictement positives de .
Question 14 Montrer que est inversible.
On pose et pour et . On note une base de vecteurs propres de U associés aux valeurs propres .

Question 15 Démontrer que constitue un produit scalaire sur .
Question 16 Déterminer , tel que et . On pourra, si nécessaire, chercher dans le sous-espace de dimension 2 engendré par deux vecteurs propres et bien choisis.
Question 17 Montrer que P est un projecteur orthogonal de rang 1 sur si et seulement si il existe un vecteur unitaire dans , tel que pour tout .

On considère maintenant un tel que défini à la question 16 et l'endomorphisme défini sur par la formule suivante :

Question 18 Démontrer que est symétrique et positif.
Question 19 Démontrer que , où note l'ensemble des vecteurs colinéaires à . En déduire que .
Question 20 Déduire des questions 1718 et 19 que S est la somme d'un nombre fini de projecteurs orthogonaux de rang 1.
Question 21 En déduire qu'un endomorphisme symétrique positif T est une somme finie de projecteurs orthogonaux si et seulement si et .