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Mines Mathématiques 1 PSI 2015

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementSéries et familles sommablesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Banque
Mines
Année
2015
Filière
PSI
Matière
Maths
Mines PSIMines 2015PSI MathsMaths 2015
2025_08_29_bdf258940b76d25a1fa3g
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. CONCOURS D'ADMISSION 2015

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TÉLÉCOM INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - PC.
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
  • On note l'ensemble des fonctions bornées de dans .
  • On note l'ensemble des suites de nombres réels positifs de somme égale à 1 :
  • Pour et deux éléments de , on définit
où si et sinon. On pourra écrire pour .
  • Dans tout ce qui suit, est un réel strictement positif fixé et est un élément de , c'est-à-dire une fonction bornée de dans .

I Préliminaires

  1. Trouver le réel tel que la suite
appartienne à .
2. Soit et deux réels de . Calculer
  1. Soit et , montrer que la série de terme général ( ) est convergente.

II Caractérisation

Soit défini par
  1. Soit , montrer que la série de terme général ( ) est convergente.
  2. Pour tout , établir l'identité suivante :
Soit un élément de tel que pour tout , l'identité suivante soit satisfaite :
  1. En choisissant convenablement des éléments de , montrer que .

III Résolution de l'équation de Stein

On note , l'ensemble des fonctions de dans , telles que, pour tout entier , l'identité suivante soit satisfaite :
Pour simplifier les notations, on note la fonction définie pour tout par
  1. Montrer que possède une infinité d'éléments et que pour tout , pour tout entier ,
  1. Pour , pour tout entier , établir l'identité suivante :
  1. En déduire que toute fonction est bornée.

IV Propriété de Lipschitz

Pour une fonction de dans , on considère la fonction définie par
On veut montrer que pour ,
Pour un entier , on considère d'abord le cas particulier où :
On note l'un des éléments de .
10. Établir pour , l'identité suivante :
  1. Établir une identité analogue pour et en déduire le signe de pour tout .
  2. Montrer que la fonction est négative sur .
Indication : on distinguera les cas et .
13. Établir les identités suivantes:
  1. En déduire que
On étudie maintenant le cas général. On définit la fonction par
  1. Montrer que .
  2. Montrer que la série
est convergente pour tout entier .
17. Montrer que la fonction définie, pour tout , par
appartient à .
18. En déduire que pour tout entier ,
En utilisant et , on prouverait de façon analogue que pour tout entier ,
et qu'ainsi l'inégalité (5) est vraie dans le cas général.

V Application probabiliste

On considère ( ) une suite de variables aléatoires discrètes indépendantes. On suppose que pour tout entier suit une loi de Bernoulli de paramètre :
On pose ainsi que
On identifie la loi de la variable aléatoire et l'élément ( ) de , l'ensemble défini au début de ce texte.
19. Pour tout , pour tout , montrer que
  1. Soit et , établir l'identité suivante.
  1. Établir que
où est un élément de .
22. En déduire que
Fin du problème
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