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Mines Mathématiques 1 PSI 2019
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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Probabilités finies, discrètes et dénombrementAlgèbre linéaireSéries entières (et Fourier)Polynômes et fractions
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH, CHIMIE PARISTECH.
Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.
CONCOURS 2019
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Soit
L'objectif du problème est d'établir la validité de l'énoncé suivant :
Cet objectif sera atteint dans la partie II pour le cas particulier
Dans tout le sujet, on note
I Généralités, cas particuliers
- Soit
et . Justifier que la série entière a pour rayon de convergence , et faire de même pour la série entière . - Pour
réel, expliciter et , et en déduire la validité des énoncés et .
II Une démonstration probabiliste de
On admet dans cette partie qu'il existe, sur un certain espace probabilisé (
Pour
- Soit
. Montrer que admet une espérance, et exprimer à l'aide de . - Pour
, rappeler l'espérance et la variance de . Déduire alors de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev que
- Montrer que pour tout réel
,
Montrer en outre que
- Soit
et . Montrer que admet une espérance et que
- Soit
. Montrer qu'il existe des réels tels que
On pourra introduire la famille
où l'indéterminée est notée
En déduire que
En déduire que
- On pose
et . Montrer l'inégalité
et en déduire
- En combinant les résultats précédents, établir la convergence
et conclure à la validité de l'énoncé
III Démonstration de
On fixe dans cette partie un entier naturel
Pour
- On fixe un réel
. Étudier le signe de la fonction
On montrera en particulier que
L'ensemble
11. Soit
11. Soit
Pour établir ce dernier résultat, on pourra revenir à la définition d'une limite.
12. Montrer que pour tout entier relatif
12. Montrer que pour tout entier relatif
- Soit
. Montrer que
En déduire que, pour
- En déduire que pour tout entier relatif
,
puis que
En vue de ce dernier résultat, on pourra commencer par démontrer que, pour
15. Dans cette question et la suivante, on fixe un nombre complexe
15. Dans cette question et la suivante, on fixe un nombre complexe
Montrer que
et que les séries
16. On conserve le nombre complexe
16. On conserve le nombre complexe
puis que, pour
et conclure à la relation
- On pose
. Pour tout réel , montrer que
et en déduire la validité de
IV Application à une équation différentielle
On s'intéresse ici à l'équation différentielle :
- Montrer que, parmi les solutions de
sur à valeurs réelles, il en existe une et une seule, notée , qui soit la somme d'une série entière et vérifie . Expliciter la suite telle que
- Démontrer que
Pour la dernière question, on admet le résultat suivant :
Lemme de comparaison asymptotique des séries entières.
Soit
(i) La série entière
(ii) Il existe un rang
(iii) Les suites
(i) La série entière
(ii) Il existe un rang
(iii) Les suites
Alors la série entière
- En exploitant la validité de
pour un couple ( ) bien choisi, démontrer l'équivalent