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Mines Mathématiques 1 PSI 2020

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensRéductionFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Mines
Année
2020
Filière
PSI
Matière
Maths
Mines PSIMines 2020PSI MathsMaths 2020
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2020

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Espaces vectoriels d'endomorphismes nilpotents

Dans tout le sujet, on considère des -espaces vectoriels de dimension finie. Soit un tel espace vectoriel et un endomorphisme de . On dit que est nilpotent lorsqu'il existe un entier tel que ; le plus petit de ces entiers est alors noté et appelé nilindice de , et l'on notera qu'alors pour tout entier . On rappelle que . L'ensemble des endomorphismes nilpotents de est noté : on prendra garde au fait qu'il ne s'agit a priori pas d'un sous-espace vectoriel de !
Un sous-espace vectoriel de est dit nilpotent lorsque tous ses éléments sont nilpotents, autrement dit lorsque .
Une matrice triangulaire supérieure est dite stricte lorsque tous ses coefficients diagonaux sont nuls. On note l'ensemble des matrices triangulaires supérieures strictes de . On admet qu'il s'agit d'un sous-espace vectoriel de , de dimension .
Dans un sujet antérieur du concours (PSI Maths II 2016), le résultat suivant a été établi :

Théorème A .

Soit un -espace vectoriel de dimension , et un sous-espace vectoriel nilpotent de . Alors, .
Le théorème est ici considéré comme acquis. L'objectif du présent sujet est de déterminer les sous-espaces vectoriels nilpotents de dont la dimension est égale à . Plus précisément, on se propose d'établir le résultat suivant (Gerstenhaber, 1958) :

Théorème B .

Soit un -espace vectoriel de dimension , et un sous-espace vectoriel nilpotent de de dimension . Il existe alors une base de dans laquelle tout élément de est représenté par une matrice triangulaire supérieure stricte.
Les trois premières parties du sujet sont largement indépendantes les unes des autres. La partie I est constituée de généralités sur les endomorphismes nilpotents. Dans la partie II, on met en évidence un mode de représentation des endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidien. Dans la partie III, on établit deux résultats généraux sur les sous-espaces vectoriels nilpotents : une identité sur les traces (lemme , et une condition suffisante pour que les éléments d'un sous-espace nilpotent non nul possèdent un vecteur propre commun (lemme ). Dans l'ultime partie IV, les résultats des parties précédentes sont combinés pour établir le théorème par récurrence sur la dimension de l'espace .

I Généralités sur les endomorphismes nilpotents

Dans toute cette partie, on fixe un espace vectoriel réel de dimension . Soit . On choisit une matrice carrée représentant l'endomorphisme .
  1. Démontrer que est semblable à une matrice complexe triangulaire supérieure, établir que les coefficients diagonaux de cette dernière sont nuls, et en déduire que pour tout .
On fixe une base de . On note l'ensemble des endomorphismes de dont la matrice dans est triangulaire supérieure stricte.
2. Justifier que est un sous-espace vectoriel de de dimension , et mettre en évidence dans un élément nilpotent de nilindice . On pourra introduire l'endomorphisme de défini par pour tout , et .
3. Soit . On se donne deux vecteurs et de , ainsi que deux entiers tels que et . Montrer que la famille est libre, et que si est libre alors est libre.
4. Soit , de nilindice . Déduire de la question précédente que et que si et alors et est de dimension 1 .

II Endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidien

On considère ici un espace vectoriel euclidien . Lorsque désigne un vecteur de , on note
  1. Calculer la dimension de en fonction de celle de . Montrer que définit un isomorphisme de sur .
Étant donné et , on notera désormais l'application de dans lui-même définie par :
  1. On fixe . Montrer que l'application est linéaire et constitue une bijection de sur .
  2. Soit et . Montrer que .

III Deux lemmes

On considère ici un espace euclidien de dimension . On rappelle que l'on a démontré à la question 4 que le nilindice d'un élément de est toujours inférieur ou égal à . Soit un sous-espace vectoriel nilpotent de contenant un élément non nul. On note
appelé nilindice générique de . On a donc .
On introduit le sous-ensemble de formé des vecteurs appartenant à au moins un des ensembles pour dans ; on introduit de plus le sous-espace vectoriel engendré
Enfin, étant donné , on pose
L'objectif de cette partie est d'établir les deux résultats suivants :
Lemme C. Soit et dans . Alors pour tout entier naturel .
Lemme D. Soit dans . Si , alors pour tout dans .
Dans les questions 8 à 11, on se donne deux éléments arbitraires et de .
8. Soit . Montrer qu'il existe une unique famille d'endomorphismes de telle que
Montrer en particulier que et . Pour l'unicité, on pourra utiliser une représentation matricielle.
9. À l'aide de la question précédente, montrer que .
10. Étant donné , donner une expression simplifiée de , et en déduire la validité du lemme .
11. Soit . En considérant, pour un quelconque, la fonction , démontrer que . À l'aide d'une relation entre et , en déduire que pour tout .
12. Soit tel que . On choisit tel que .
Étant donné , montrer que pour tout il existe et tels que . En déduire que puis que pour tout .

IV Démonstration du théorème

Dans cette ultime partie, nous démontrons le théorème par récurrence sur l'entier . Le cas est immédiat et nous le considérerons comme acquis. On se donne donc un entier naturel et on suppose que pour tout espace vectoriel réel de dimension et tout sous-espace vectoriel nilpotent de , de dimension , il existe une base de dans laquelle tout élément de est représenté par une matrice triangulaire supérieure stricte.
On fixe un espace vectoriel réel de dimension , ainsi qu'un sous-espace vectoriel nilpotent de , de dimension . On munit d'un produit scalaire , ce qui en fait un espace euclidien.
On considère, dans un premier temps, un vecteur arbitraire de . On pose
On note la projection orthogonale de sur . Pour , on note l'endomorphisme de défini par
On considère enfin les ensembles
  1. Montrer que et sont des sous-espaces vectoriels respectifs de , et .
  2. Montrer que
  1. Montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel de tel que
et montrer qu'alors .
16. En considérant et pour et , déduire du lemme que , et que plus généralement pour tout et tout .
17. Justifier que pour tout , et déduire alors des deux questions précédentes que
  1. Soit . Montrer que pour tout et tout . En déduire que est un sous-espace vectoriel nilpotent de .
  2. Déduire des questions précédentes et du théorème que
et
En déduire que contient pour tout et tout .
20. En appliquant, entre autres, l'hypothèse de récurrence et la question 19, montrer que le nilindice générique de est supérieur ou égal à , et que si en outre alors il existe une base de dans laquelle tout élément de est représenté par une matrice triangulaire supérieure stricte.
Compte tenu du résultat de la question 20 , il ne nous reste plus qu'à établir que l'on peut choisir le vecteur de telle sorte que .
On choisit dans (l'ensemble a été défini dans la partie III). On note le nilindice générique de , et l'on fixe tel que . On rappelle que d'après la question 20 .
21. Soit tel que . Montrer que . On pourra utiliser les résultats des questions 4 et 19.
22. On suppose qu'il existe dans tel que . Soit . En considérant pour réel, montrer que .
On pourra s'inspirer de la méthode de la question 11.
23. Conclure.

Fin du problème

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