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Mines Mathématiques 1 PSI 2021

Variables aléatoires entières symétriques à forte dispersion

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Intégrales à paramètresSuites et séries de fonctionsFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Probabilités finies, discrètes et dénombrementCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
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Mines
Année
2021
Filière
PSI
Matière
Maths
Mines PSIMines 2021PSI MathsMaths 2021
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2021

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Variables aléatoires entières symétriques à forte dispersion

Dans tout le sujet, on fixe un espace probabilisé ( ) sur lequel toutes les variables aléatoires considérées sont définies. On utilisera systématiquement la locution « variable aléatoire » pour parler d'une variable aléatoire réelle discrète, et « variable aléatoire entière » pour parler d'une variable aléatoire à valeurs dans . On pourra noter
où est un sous-ensemble fini ou dénombrable de et pour tout .
Définition 1 (Dispersion d'ordre ) On fixe un réel . Soit une variable aléatoire. On dit que vérifie la condition - dite de dispersion d'ordre - lorsque, quand tend vers ,
Définition 2 (Variables aléatoires symétriques) On dit que est symétrique lorsque suit la même loi que , autrement dit lorsque
On admet le principe de transfert de l'égalité en loi :
Théorème 1 Étant donné deux variables aléatoires et prenant leurs valeurs dans un même ensemble , ainsi qu'une application , si et suivent la même loi alors et aussi.
Dans tout le sujet, on se donne une suite de variables aléatoires entières, mutuellement indépendantes, toutes de même loi, symétriques, et vérifiant la condition . On admet que sous ces conditions la variable est indépendante de pour tout .
On pose, pour tout ,
appelée -ième moyenne empirique des variables . L'objectif du sujet est d'établir la convergence simple d'une suite de fonctions associées aux variables .
Les trois premières parties du sujet sont totalement indépendantes les unes des autres.

Questions de cours

Soit une variable aléatoire. Rappeler la définition de « est d'espérance finie». Montrer alors que est d'espérance finie si et seulement si est d'espérance finie.
Soit une variable aléatoire. Montrer que si est bornée, autrement dit s'il existe un réel tel que , alors est d'espérance finie.

Généralités sur les variables aléatoires

Soit une variable aléatoire entière vérifiant . Montrer que n'est pas d'espérance finie, et que non plus.
Soit une variable aléatoire symétrique, et une fonction impaire. Montrer que est symétrique et que si est d'espérance finie alors 0 .
Soit et deux variables aléatoires symétriques indépendantes. En comparant la loi de ( ) à celle de ( ), démontrer que est symétrique.

Deux sommes de séries

On fixe ici un nombre complexe tel que et . On introduit la fonction
Montrer que, sur le segment , la fonction est convenablement définie et de classe . Donner une expression simple de sa dérivée -ième pour tout .
Justifier que pour tout , on a , et plus précisément encore que .
8 - En déduire successivement que
En déduire, grâce à une formule de Taylor, que .
Montrer que la fonction
est continue. En déduire qu'il existe, pour tout , un réel tel que
11 - Montrer que la fonction
est de classe et donner une expression de sa dérivée sous la forme d'une intégrale à paramètre.
Montrer que
et en déduire la valeur de pour tout .
Soit . Déduire des questions précédentes que

Fonction caractéristique d'une variable aléatoire symétrique

On fixe dans cette partie une variable aléatoire symétrique . On pose
appelée fonction caractéristique de .
Montrer que est bien définie, paire et que .
En utilisant le théorème du transfert, montrer que est continue.
Dans la suite de cette partie, on suppose que est une variable aléatoire entière symétrique vérifiant la condition ( ). Pour tout , on pose
On fixe un réel . Montrer successivement que
puis
On pourra établir au préalable la convergence de la série .
Montrer qu'il existe un nombre réel tel que
et en déduire que, quand tend vers ,
Conclure que, quand tend vers ,
La fonction est-elle dérivable en 0 ?

Convergence simple de la suite des fonctions caractéristiques des variables

Soit et deux variables aléatoires symétriques indépendantes. Montrer que
Démontrer que pour tout entier , la variable est symétrique et
En déduire que pour tout réel ,
La convergence établie à la question précédente est-elle uniforme sur ?
À partir de là, des théorèmes d'analyse de Fourier permettraient de démontrer que la suite converge en loi vers une variable de Cauchy de paramètre , ce qui signifie que pour tout segment ,
Fin du problème
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