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Mines Mathématiques 1 PSI 2024

Inégalité de log-Sobolev pour la gaussienne

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Intégrales généraliséesCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesIntégrales à paramètres
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Mines
Année
2024
Filière
PSI
Matière
Maths
Mines PSIMines 2024PSI MathsMaths 2024
2025_08_29_d74c710f98b03bf5c916g

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2024

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Notations et résultats admis

  • Soit la fonction définie sur par .
  • Pour , on pose l'ensemble des fonctions de classe sur à valeurs dans .
  • On note l'ensemble des fonctions de dans à croissance lente, c'est-àdire :
    tel que pour tout .
  • On note intégrable sur .
  • Soit . Pour une fonction , on définit si cela est possible la fonction par :
  • Pour deux fois dérivable sur , on définit sur la fonction par :
  • Une fonction est dite fonction polynomiale en s'il existe et des réels tels que pour tout .
  • Soient une fonction et . On admet que , et seulement si, pour toute suite de réels positifs telle que , on a .

Partie 1 : Résultats préliminaires

1 - Montrer que toute fonction majorée en valeur absolue par une fonction polynomiale en est à croissance lente.
Montrer que .
On admet dans toute la suite du problème que .
Montrer que est un espace vectoriel. Montrer aussi que est stable par produit.
Soit . Vérifier que la fonction est bien définie pour et vérifier que est linéaire sur .
Montrer que pour tout et tout ,
Soit . Montrer que si , alors . Montrer aussi que est majorée en valeur absolue par une fonction polynomiale en indépendante de . En déduire que .
On admettra dans toute la suite du problème que, si , alors
Montrer que pour toutes fonctions telles que les fonctions et soient à croissance lente, on a

Partie 2 : Dérivée de

Pour et , on note, si cela a un sens, la dérivée de la fonction .
Pour et fixé, on note, si cela a un sens, (resp. ) la dérivée de (resp. la dérivée seconde de ).
Montrer que si telle que et , alors est de classe sur et montrer que pour tout , on a
Soient telle que et soient à croissance lente et . Montrer que est de classe sur . Montrer aussi que
et
En déduire que pour telle que et soient à croissance lente, on a

Partie 3 : Inégalité de log-Sobolev pour la gaussienne

Pour à valeurs strictement positives telle que
on définit l'entropie de par rapport à par :
Dans la suite de cette partie, est un élément de à valeurs strictement positives tel que les fonctions et soient à croissance lente. On suppose aussi que .
Étudier les variations de la fonction sur . On vérifiera que l'on peut prolonger par continuité la fonction en 0 .
Justifier que la quantité est bien définie pour tout à valeurs strictement positives telle que .
Indication : On pourra utiliser la question 11.
Pour , on pose . Justifier que est bien définie.
Montrer que est continue sur .
Indication : On pourra au préalable montrer que, si est continue sur .
Vérifier que l'on a et .
On admet que est de classe sur et que
Montrer que
En admettant que le résultat de la question 7 est valable pour les fonctions et , montrer que
18 - En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que
En déduire que l'on a:
Établir l'inégalité suivante

Fin du problème

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