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Mines Mathématiques 2 MP MPI 2025

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensRéductionPolynômes et fractionsAlgèbre générale
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Mines
Année
2025
Filière
MP/MPI
Matière
Maths
Mines MP/MPIMines 2025MP/MPI MathsMaths 2025
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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS et CHAUSSÉES, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2025

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Notations et objectifs du problème

Dans tout le problème :
  • désigne un entier naturel non nul et l'ensemble est noté .
  • (respectivement , resp. , resp. ), désigne l'ensemble des matrices carrées (resp. symétriques, resp. diagonales, resp. inversibles) réelles de taille , et on confond un élément de avec son unique coefficient;
  • si , on note sa transposée et pour tout , on note le coefficient de M situé à la -ème ligne et la -ème colonne;
  • on note le nombre de valeurs propres réelles strictement positives de comptées avec leur multiplicité, ainsi par exemple ;
  • si on note la matrice telle que pour tout ;
  • si et sont deux polynômes non simultanément nuls, on note leur PGCD ;
  • si est un polynôme, on note également sa fonction polynomiale associée;
  • on note le nombre de racines réelles de appartenant à l'intervalle , comptées avec leur multiplicité, ainsi par exemple ;
  • on dit que le réel est une racine stable de si et ;
  • si est un polynôme de degré et s'écrit
on note son polynôme réciproque, défini par
  • on note la matrice colonne de taille dont le premier coefficient est égal à 1 et les autres à 0 ;
  • on note S la matrice de dont tous les coefficients sont nuls sauf les coefficients situés juste au-dessus de la diagonale, égaux à 1 :
  • pour tout polynôme réel on définit la matrice par
Dans ce problème désigne un polynôme à coefficients réels, scindé sur de degré ,
et on note ses racines toutes réelles, comptées avec leurs multiplicités.
L'objectif du problème est d'établir l'égalité (critère de Schur-Cohn) dans le cas où est inversible, puis de proposer une démarche générale permettant de compter les racines de dans , lorsque la matrice n'est pas inversible.
Ces résultats, généralisables aux polynômes à coefficients complexes, sont utiles dans l'étude de la stabilité de certains systèmes dynamiques.

A. Propriétés du polynôme et stabilité des racines

Montrer que , le polynôme réciproque de , vérifie
et en déduire que
Montrer que si et seulement si ne possède pas de racine stable.
Jusqu'à la fin de la partie A. on suppose que toutes les racines de sont stables et d'ordre de multiplicité 1.
Soit le polynôme de degré défini par , où est le polynôme dérivé de . On note et les polynômes réciproques respectifs de et .
4 Montrer que , puis que .
Vérifier que est scindé sur puis montrer que et en déduire que n'admet pas de racine stable.

B. Liberté d'une famille de polynômes

Pour tout entier , on note le polynôme

avec, selon les conventions habituelles, .
Montrer que s'il existe deux entiers tels que et , alors est racine de chaque polynôme , où , et que la famille ( ) est liée.
Jusqu'à la fin de la partie B. on suppose qu'aucune racine de n'est stable.
On note le sous-espace vectoriel des fractions rationnelles à coefficients réels dont les éventuels pôles sont des inverses de racines de (on ne demande pas de justifier que est un espace vectoriel). Les éléments de sont donc les fractions rationnelles dont le dénominateur peut s'écrire comme produit fini, éventuellement égal à 1 , de facteurs ( ) où .
Pour tout , on définit la fraction rationnelle par
et l'application , qui à une fraction rationnelle associe la fraction rationnelle
Montrer que pour tout , l'application est un endomorphisme de et déterminer son noyau.
Pour tout et tout , calculer .
En déduire que la famille est libre.

C. Expression de la matrice

Montrer que la famille est une base de . Les matrices S et ont été définies dans la partie préliminaire du problème.
Pour tout entier , on définit les matrices
Démontrer que
Les polynômes ont été définis dans le préambule de la partie .
Soit . Montrer que .
On note D la matrice diagonale de taille :
et la matrice telle que pour tout , la -ème colonne de est . Montrer que
En déduire, à l'aide de la question 6, que si possède une racine stable alors n'est pas inversible.

D. Cas où est inversible : critère de Schur-Cohn

On rappelle que si alors désigne le cardinal de l'ensemble de ses valeurs propres strictement positives, comptées avec leurs multiplicités.
On munit de sa structure euclidienne canonique. On dit qu'un sous-espace vectoriel F de vérifie la condition ( ) quand
On note la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel de vérifiant la condition , c'est-à-dire :
é
Soit deux matrices telles qu'il existe une matrice vérifiant . Montrer que puis que .
Pour toute matrice construire un sous-espace vectoriel de de dimension vérifiant la condition ( ). On a donc .
On veut montrer que pour toute matrice on a . Par l'absurde, en supposant l'existence d'un sous-espace vectoriel G de de dimension vérifiant la condition , montrer , en déduire une contradiction et conclure.
18 - Démontrer le critère de Schur-Cohn :
Si est inversible alors ne possède aucune racine stable et .

E. Condition nécessaire et suffisante d'inversibilité

19 - Montrer, à l'aide des questions 9 et 13, que si n'admet pas de racine stable et si n'est pas inversible alors il existe un polynôme non nul à coefficients réels de degré au plus tel que .
- En déduire que la matrice est inversible si et seulement si n'admet aucune racine stable.

F. Un cas particulier

On suppose dans cette partie, comme on l'a fait aux questions 3 à 5 , que toutes les racines de sont stables et de multiplicité 1 et on note (où est le polynôme dérivé de ) et le polynôme réciproque de . On rappelle que, d'après la question 3 , il existe un réel tel que .
Montrer que est inversible.
Montrer qu'il existe un réel tel que pour tout , le polynôme
est scindé, admet exactement racines à l'intérieur de l'intervalle [ et ne possède aucune racine stable.
Pour tout réel , on note .
Montrer que
Justifier que l'application est dérivable et que
25 - En déduire, à l'aide des résultats de la question 4, que
On admet que l'application définie sur à valeurs dans qui à une matrice symétrique associe le -uplet de ses valeurs propres réelles comptées avec leurs multiplicités, rangées dans l'ordre décroissant, est continue.
En déduire que .

G. Méthode générale.

On se place dans le cas général, sans disposer d'information sur la stabilité et la multiplicité des racines de , et on cherche à calculer .
On construit les deux polynômes et vérifiant et .
Montrer que .
28 Proposer une méthode permettant de construire un nombre fini (éventuellement nul) de polynômes , dont les racines sont stables et de multiplicité 1 , tels que . Exprimer à l'aide de ainsi que .
Fin du problème
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