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Mines Mathématiques 2 MP 2003

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesNombres complexes et trigonométrie, calculs, outilsTopologie/EVN
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Banque
Mines
Année
2003
Filière
MP
Matière
Maths
Mines MPMines 2003MP MathsMaths 2003
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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2003

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ÉPREUVEFilière MP(Durée de l'épreuve : 4 heures)(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première
page de la copie :
MATHÉMATIQUES 2-Filière MP.
Cet énoncé comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'objet du problème est l'étude de méthodes analytiques (méthodes du gradient, du Lagrangien) pour résoudre l'équation linéaire où est une matrice symétrique positive, inversible, un vecteur donné de et un vecteur inconnu de ou d'un sous-espace vectoriel de .
Dans tout le problème, l'entier est un entier naturel supérieur ou égal à 2 ; la base canonique de est notée ; le produit scalaire de deux vecteurs et de est noté ( ). La norme d'un vecteur est notée .
Les matrices considérées sont réelles ; l'espace vectoriel des matrices carrées réelles d'ordre est noté . Il est admis que l'application qui, à une matrice de , associe la borne supérieure des normes des images par des vecteurs unitaires de est une norme :
Une matrice symétrique est dite positive lorsque, pour tout vecteur de , le produit scalaire des vecteurs et est positif ou nul .

Première partie

Le but de cette partie est la résolution de l'équation où est une matrice carrée d'ordre symétrique positive et inversible, un vecteur donné de et un vecteur inconnu.

Résultats préliminaires :

Soit une matrice carrée symétrique d'ordre .
  1. Démontrer qu'il existe un plus grand réel et un plus petit réel tels que, pour tout vecteur de , le produit scalaire ( ) vérifie l'encadrement suivant :
Préciser ces deux réels et en fonction des valeurs propres de la matrice .
2. Montrer que, pour que cette matrice soit inversible et positive, il faut et il suffit que toutes ses valeurs propres soient strictement positives.
3. Démontrer que la norme d'une matrice symétrique est égale à la plus grande valeur absolue des valeurs propres de la matrice :
Étant donnés la matrice carrée, d'ordre , symétrique positive et le vecteur , soit un réel strictement positif strictement majoré par où est la plus grande valeur propre de la matrice ; soit la suite définie par un premier vecteur choisi arbitrairement dans et par la relation de récurrence suivante : pour tout entier naturel ,
Étude de la suite :
4. Démontrer que la suite est une suite convergente de limite le vecteur de l'espace , solution de l'équation .
Soit la fonction réelle, définie dans , par la relation :

Minimum de :

  1. Calcul préparatoire : démontrer que l'expression se calcule en fonction des expressions et .
  2. Démontrer que la fonction admet des dérivées partielles :
Étant donné un vecteur de , soit le vecteur de dont les coordonnées, dans la base canonique de , sont égales aux valeurs des dérivées partielles de la fonction en ce point :
  1. Exprimer ce vecteur au moyen de la matrice et des vecteurs et .
Étant donnés deux vecteurs et de , soit l'expression suivante:
  1. Démontrer que, pour tout vecteur donné, il existe deux constantes positives ou nulles et telles que, pour tout vecteur vérifie la relation suivante :
  1. Démontrer que, pour que la fonction admette en un minimum, il faut et il suffit que le vecteur vérifie la relation .

Recherche du minimum de :

Soit un réel compris strictement entre 0 et .
10. Étant donné un vecteur de , déterminer le signe de l'expression suivante
  1. Proposer, à partir de ce résultat, une méthode pour construire une suite de vecteurs qui converge vers le vecteur en lequel la fonction atteint son minimum ; la justification de la convergence n'est pas demandée.

Seconde partie

Le but de cette partie est de rechercher un vecteur appartenant à un sousespace vectoriel de qui vérifie l'équation où est une matrice carrée d'ordre symétrique positive et inversible. Le sous-espace vectoriel de est supposé être le noyau d'une matrice appartenant à ; ce noyau est supposé différent de tout l'espace ( ).
L'équivalence, établie dans la première partie, entre d'une part résoudre l'équation et d'autre part chercher le vecteur rendant minimum la fonction définie sur par la relation suivante
conduit à se poser le problème suivant :
Soit une matrice appartenant à dont le noyau est différent de ; rechercher un vecteur appartenant à rendant minimum la restriction de la fonction au sous-espace vectoriel .

Existence du minimum de la fonction dans :

  1. Démontrer que la fonction possède la propriété suivante : pour tout réel , il existe un réel , tel que, pour tout vecteur de de norme supérieure ou égale à , le réel est supérieur ou égal à .
  2. En déduire que, si est un point de , il existe un réel tel que pour tout vecteur de de norme supérieure ou égale à est supérieur ou égal à .
  3. Démontrer à l'aide du résultat précédent qu'il existe au moins un vecteur du sous-espace vectoriel en lequel la restriction de la fonction à ce sousespace atteint un minimum.
  4. Démontrer qu'il existe un seul vecteur en lequel la fonction atteint son minimum dans , en admettant que la fonction est convexe ; c'est-à-dire : pour tout couple de vecteurs et tout réel appartenant à l'intervalle ouvert , , les valeurs prises par la fonction vérifient la relation suivante :
où l'inégalité est stricte si et seulement si les vecteurs et sont différents.

Propriétés du point :

  1. Démontrer que, pour qu'un vecteur de rende minimum la restriction de la fonction au sous-espace vectoriel , il faut et il suffit que le vecteur soit orthogonal à ce sous-espace de .
  2. Démontrer que la valeur prise par la fonction au point , en lequel elle atteint son minimum dans , est donnée par la relation suivante :

Le Lagrangien :

Soit la fonction définie sur l'espace produit par la relation suivante
Un point de l'espace produit est dit point selle de la fonction , s'il possède la propriété suivante : quel que soit le point de l'espace produit , les valeurs prises par la fonction aux points ( ) , et vérifient la double inégalité suivante :

Propriétés du Lagrangien et de ses points selles :

  1. Établir l'inégalité suivante :
Il est supposé dans toute la suite qu'il existe un point selle de la fonction .
19. Démontrer que la valeur prise par la fonction en un point selle ( ) vérifie les égalités suivantes :
  1. Démontrer, pour tout point de , les équivalences suivantes :
  1. Soient un vecteur du sous-espace vectoriel et un vecteur de . Démontrer qu'une condition nécessaire et suffisante pour que le couple ( )
    soit un point selle du Lagrangien est que le vecteur réalise le minimum de la restriction de la fonction à et que les vecteurs et vérifient la relation suivante :
La suite logique est la recherche d'un point selle du Lagrangien .
Algorithme d'Uzawa : soit toujours un point selle, supposé exister ; étant donnés un vecteur arbitraire de , une suite de réels, qui seront précisés plus loin, soient et les deux suites de vecteurs définies par les conditions suivantes :
  • Pour tout entier naturel , le vecteur est le vecteur qui rend minimum la fonction .
  • Pour tout entier naturel , le vecteur est défini par la relation suivante:
Existence des deux suites et :
22. Démontrer que les conditions énoncées permettent de déterminer tous les termes de ces deux suites et et que les vecteurs de ces suites vérifient, pour tout entier naturel , les relations suivantes :
où et sont les deux vecteurs d'un point selle de .
23. En déduire l'égalité ci-dessous :
Convergence de la suite numérique de terme général , :
24. Un résultat préliminaire : démontrer l'existence d'une matrice carrée d'ordre symétrique positive inversible, notée , telle que :
Soit la matrice définie par la relation suivante :
où la matrice est la matrice inverse de la matrice .
25. Démontrer que la matrice est une matrice symétrique positive. Établir qu'il existe une constante telle que, pour tout vecteur de , l'inégalité cidessous soit vraie :
Soient et deux réels tels que le segment soit contenu dans l'intervalle ouvert . La suite des réels est supposée vérifier pour tout entier naturel l'inégalité suivante :
  1. Démontrer que la suite de terme général est monotone décroissante ; utiliser, pour simplifier, la suite dont le terme général est définie par la relation suivante :
Convergence de la suite :
27. En déduire la convergence et la limite de la suite .
FIN DU PROBLÈME
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