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Mines Mathématiques 2 MP 2010

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Algèbre linéaireIntégrales généraliséesAlgèbre généraleFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Nombres complexes et trigonométrie, calculs, outils
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Mines
Année
2010
Filière
MP
Matière
Maths
Mines MPMines 2010MP MathsMaths 2010
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).

CONCOURS 2010

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP(Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, enstim, TELECOM INT, TPE-EIVP.Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Dénombrements de certaines matrices binaires

Soit un entier . On note l'espace vectoriel des matrices réelles à lignes et colonnes. On appelle matrice binaire de taille une matrice dont tous les coefficients sont égaux à 0 ou à 1 . L'élément d'une telle matrice situé sur la -ième ligne et la -ième colonne est dit en position ( ), où et .
On désigne par l'ensemble des matrices binaires de taille comportant exactement deux 1 dans chaque ligne et exactement deux 1 dans chaque colonne. L'exemple suivant :
est une matrice de .
On note le cardinal de , et on pose par convention et .
La partie D est indépendante des parties B et C.

A. Questions préliminaires

  1. Exhiber toutes les matrices de pour et 3 , et déterminer les valeurs correspondantes de . (Dans le cas , on pourra raisonner sur la position des éléments nuls dans chacune de ces matrices.)
    Soit le vecteur de dont tous les coefficients sont égaux à 1 et la matrice de dont tous les coefficients sont égaux à 1 .
  2. Si , montrer que est un vecteur propre de . Quelle est la valeur propre associée?
Soit l'ensemble des éléments de comportant un 1 en position (1,1). On note le cardinal de .
3) Calculer la somme de toutes les matrices de en fonction de et de .

B. Étude du cardinal de

  1. Établir la relation pour tout . (On pourra s'aider des deux questions précédentes.)
Soit l'ensemble des éléments de comportant un 1 en position et un 1 en position ( 2,1 ). On note le cardinal de .
5) Pour tout , établir une relation donnant en fonction de et de .
6) En examinant les possibilités pour le coefficient situé en position (2,2), démontrer la relation pour tout .
On pose pour tout .
7) Déduire de ce qui précède une relation de récurrence pour la suite , puis pour la suite .
8) Prouver que pour tout , et que la série de terme général diverge. Que peut-on en déduire pour le rayon de convergence de la série entière ?
On pose pour tout .
9) Donner une équation différentielle vérifiée par et en déduire une expression de en fonction de .

C. Équivalent d'une suite de coefficients d'un développement en série entière

Cette partie permet d'obtenir un équivalent de pour . Soit un réel et un réel . On considère la fonction définie pour par la formule :
On note la fonction Gamma définie pour tout réel ; on rappelle que et que pour tout .
10) Montrer que est la somme d'une série entière pour tout .
11) Montrer que si , on peut écrire :
où l'on exprimera les coefficients en fonction de et .
12) En déduire que pour tout , où l'on a posé :
  1. On fixe tel que . A l'aide des variations de la fonction
définie pour tout , montrer que est négligeable devant quand .
14) En déduire qu'il existe tel que soit équivalent à l'intégrale quand .
15) En conclure que les suites et sont équivalentes.
On revient sur la suite définie au début du problème.
16) Établir un équivalent de , puis de quand . On prendra soin de simplifier l'équivalent trouvé de en utilisant la formule de Stirling.

D. Étude de rang

Dans cette partie, on cherche à déterminer le rang du système constitué des matrices de , considérées comme des éléments de . On rappelle que est le vecteur de dont tous les coefficients sont égaux à 1, et que est la matrice de dont tous les coefficients sont égaux à 1 .
17) Calculer pour et 3 . (Dans le cas , on pourra considérer les matrices , où .)
On considère l'espace vectoriel des matrices telles que soit à la fois un vecteur propre pour et pour sa transposée .
18) Montrer que et comparer les valeurs propres de et de associées à lorsque .
19) Déterminer la dimension de . (On pourra considérer une base orthonormée de dont un des vecteurs est colinéaire à .) En déduire une majoration sur .
Pour , soit une matrice de comportant des 1 en positions (1,1) et (2,2) et des 0 en positions et .
20) Montrer qu'il existe une matrice de telle que ne comporte que des éléments nuls, sauf en positions pour et . En déduire que si désigne le rang du système constitué de toutes les matrices où , on a .
21) Conclure.

Fin du problème

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