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Mines Mathématiques 2 MP 2013

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensAlgèbre linéaireRéductionTopologie/EVNFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Mines
Année
2013
Filière
MP
Matière
Maths
Mines MPMines 2013MP MathsMaths 2013
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).

CONCOURS 2013

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP(Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, enstim, TELECOM INT, TPE-EIVP.Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP.L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Quelques propriétés géométriques du groupe orthogonal

Notations et définitions

Soit un espace vectoriel euclidien (préhilbertien réel de dimension finie). On note , et la norme euclidienne associée. Si est une partie de , on appelle enveloppe convexe de , notée , la plus petite partie convexe de contenant , c'est-à-dire l'intersection de tous les convexes de contenant .
Soit un entier naturel . On désigne par l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre à coefficients réels. On note la matrice identité de et si , on note la matrice transposée de et la trace de . On rappelle que le groupe orthogonal de est l'ensemble des matrices de telles que . On rappelle également qu'une matrice symétrique réelle est dite positive si ses valeurs propres sont positives ou nulles.
On pourra identifier et l'ensemble des matrices colonnes , que l'on suppose muni du produit scalaire canonique, pour lequel la base canonique de est orthonormée. On note la norme sur subordonnée à la norme euclidienne de : pour tout ,
Les parties A, B, C et D sont indépendantes.

A. Produit scalaire de matrices

On rappelle que désigne la trace de la matrice .
  1. Montrer que pour toute base orthonormée de , on a la formule .
  2. Montrer que l'application définit un produit scalaire sur , noté ,
On note la norme euclidienne associée à ce produit scalaire. L'attention du candidat est attirée sur le fait que est désormais muni de deux normes différentes et .
3) Si et sont symétriques réelles positives, montrer que . On pourra utiliser une base orthonormée de vecteurs propres de .

B. Décomposition polaire

Soit un endomorphisme de . On note la matrice de dans une base orthonormée de , et on note l'adjoint de .
4) Montrer que est une matrice symétrique réelle positive. Exprimer en fonction des valeurs propres de .
5) Montrer qu'il existe un endomorphisme auto-adjoint positif de tel que .
6) Montrer que la restriction de à induit un automorphisme de . On notera cet automorphisme .
7) Montrer que pour tout . En déduire que et ont même dimension et qu'il existe un isomorphisme sur qui conserve la norme.
8) À l'aide de et , construire un automorphisme orthogonal de tel que .
9) En déduire que toute matrice s'écrit sous la forme , où et est une matrice symétrique positive.
On admet que si est inversible, cette écriture est unique.

C. Projeté sur un convexe compact

Soit une partie de , convexe et compacte, et soit . On note
  1. Montrer qu'il existe un unique tel que . On pourra utiliser pour dans la fonction définie pour tout par la formule .
  2. Montrer que est caractérisé par la condition pour tout . On pourra utiliser la même fonction qu'à la question précédente.
    Le vecteur s'appelle projeté de sur .

D. Théorème de Carathéodory et compacité

Dans cette partie, on suppose que est de dimension . On dit que est une combinaison convexe des éléments s'il existe des réels positifs ou nuls tels que
  1. Montrer que l'enveloppe convexe d'une partie de est constituée des combinaisons convexes d'éléments de .
On souhaite montrer que l'enveloppe convexe est constituée des combinaisons convexes d'au plus éléments de .
Soit une combinaison convexe de avec .
13) Montrer qu'il existe réels non tous nuls tels que
On pourra considérer la famille ( ).
14) En déduire que s'écrit comme combinaison convexe d'au plus éléments de et conclure que est constituée des combinaisons convexes d'au plus éléments de .
On pourra considérer une suite de coefficients de la forme , pour un réel bien choisi.
15) Si est une partie compacte de , montrer que est compacte. On pourra introduire l'ensemble compact de défini par

E. Enveloppe convexe de

  1. Montrer que l'enveloppe convexe est compacte.
On note la boule unité fermée de .
17) Montrer que est contenue dans .
On suppose qu'il existe telle que n'appartient pas à . On note le projeté de sur défini à la partie C pour la norme , et on pose . On écrit enfin , avec et symétrique réelle positive (question 9).
18) Montrer que pour tout . En déduire que .
19) Montrer que . On pourra appliquer le résultat de la question 1).
20) Conclure : déterminer .

F. Points extrémaux

Un élément est dit extrémal dans si l'écriture , avec appartenant à , entraîne . Dans cette partie, on cherche à déterminer l'ensemble des points extrémaux de .
21) On suppose que s'écrit sous la forme , avec appartenant à . Montrer que pour tout , les vecteurs et sont liés. En déduire que est extrémal dans .
Soit appartenant à mais n'appartenant pas à .
22) Montrer que l'on peut écrire sous la forme , où et sont deux matrices orthogonales et où est une matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont positifs ou nuls.
23) Montrer que pour tout , et qu'il existe tel que .
24) En déduire qu'il existe deux matrices et appartenant à telles que . Conclure.

Fin du problème

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