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Mines Mathématiques 2 MP 2020

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementSéries et familles sommablesSéries entières (et Fourier)Intégrales à paramètresSuites et séries de fonctions
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Mines
Année
2020
Filière
MP
Matière
Maths
Mines MPMines 2020MP MathsMaths 2020
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2020

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Dans tout le texte, est un élément de . On note le -uplet dont toutes les coordonnées valent 0 , c'est-à-dire le vecteur nul de .
On considère une variable aléatoire à valeurs dans une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant chacune la loi de et définies sur un même espace probabilisé. La suite de variables aléatoires est définie par et
La suite est une marche aléatoire de pas , à valeurs dans .
On note la variable aléatoire à valeurs dans définie par
Autrement dit, est égal à si la marche aléatoire ne revient jamais en , au premier instant auquel cette marche aléatoire revient en sinon.
Pour dans , soit le cardinal du sous-ensemble
de . Le nombre est donc le nombre de points de visités par la marche aléatoire après pas.
Le but du problème est d'étudier asymptotiquement l'espérance de la variable aléatoire .
La partie D est indépendante des parties précédentes.

A. Préliminaires

Les cinq questions de cette partie sont indépendantes et utilisées dans les parties C et E .
  1. Soit . En utilisant la factorisation
montrer que
  1. Rappeler la formule de Stirling, puis déterminer un nombre réel tel que
  1. Si est un élément de , montrer, par exemple en utilisant une comparaison série-intégrale, que
Si est un élément de , montrer de même que
  1. Pour , on pose
Justifier, pour , la relation
Établir par ailleurs la relation
En déduire finalement un équivalent de lorsque tend vers .
5. Pour , rappeler, sans donner de démonstration, le développement en série entière de sur .
Justifier la formule :

B. Marches aléatoires, récurrence

On considère les fonctions et définies par les formules
  1. Montrer que les séries entières définissant et ont un rayon de convergence supérieur ou égal à 1 . Justifier alors que les fonctions et sont définies et de classe sur .
Montrer que est définie et continue sur et que
  1. Si et sont des entiers naturels non nuls tels que , montrer que
En déduire que
  1. Montrer que
Déterminer la limite de lorsque tend vers , en discutant selon la valeur de .
9. Soit une suite d'éléments de telle que la série entière ait un rayon de convergence 1 et que la série diverge. Montrer que
L'élément de étant fixé, on montrera qu'il existe tel que
  1. Montrer que la série est divergente si et seulement si .
  2. Pour , soit la variable de Bernoulli indicatrice de l'événement
Montrer que, pour :
En déduire que, pour :
  1. Conclure que
On pourra admettre et utiliser le théorème de Cesàro : si est une suite réelle convergeant vers le nombre réel , alors

C. Les marches de Bernoulli sur

Dans cette question, est égal à 1 et on note donc simplement . Par ailleurs, est un élément de et la loi de est donnée par
  1. Pour , déterminer et justifier l'égalité :
  1. Pour , donner une expression simple de .
Exprimer en fonction de .
Déterminer la loi de .
15. On suppose que
Donner un équivalent simple de lorsque tend vers . En déduire un équivalent simple de lorsque tend vers .

D. Un résultat asymptotique

Soient et deux suites d'éléments de . On suppose que est décroissante et que
On pose, pour .
  1. Soient et deux entiers naturels tels que . Montrer que
  1. On suppose dans cette question qu'il existe une suite vérifiant pour assez grand et
Montrer que
  1. On suppose dans cette question qu'il existe tel que
En utilisant la question 17 pour une suite bien choisie, montrer que

E. La marche aléatoire simple sur : un théorème d'Erdös et Dvoretzky

  1. Soit . Montrer que
Dans les questions 20 et 21 , on suppose que et que la loi de est donnée par
  1. Soit . Établir l'égalité
  1. Donner un équivalent simple de lorsque tend vers .

Fin du problème

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