Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'objectif de ce problème est de montrer la propriété suivante: soient deux familles de réels (

) et (

) satisfaisant

les inégalités suivantes sont vérifiées:

On désignera dans tout le problème par:

l'espace des matrices réelles à lignes et colonnes. On note , la matrice nulle.
, l'ensemble des matrices réelles carrées d'ordre . On note , la matrice nulle.
la transposée d'une matrice .
, le sous-ensemble de , constitué des matrices symétriques d'ordre , c'est-à-dire les matrices qui satisfont .
la matrice identité d'ordre .
( ) le produit scalaire de deux matrices colonnes.

On rappelle que pour toute matrice

et tout couple de matrices colonnes (

) où

, l'identité suivante est satisfaite:

Définition 1 Une matrice

est dite positive lorsque pour tout

. Une matrice

est dite définie positive lorsque pour tout

I. Préliminaires

Dans cette partie,

est un élément de

Montrer que est positive si et seulement si les valeurs propres de sont toutes positives.
Montrer que est définie positive si et seulement si est positive et inversible.
Si est définie positive, montrer qu'il existe une matrice , symétrique définie positive telle que .
Si et sont symétriques définies positives et , montrer que, pour toute valeur propre de , on a:

En déduire que si est définie positive, il existe une unique matrice symétrique définie positive telle que et que dans toute base de vecteurs propres de est diagonale.

On notera désormais

.
6) On suppose

définie positive. Montrer qu'il existe une unique matrice, notée

, symétrique définie positive telle que

.
7) Prouver que

.
8) Soit

une matrice symétrique positive qui commute avec

. Est-ce que

commutent?

II. Inégalité de Kantorovitch

Dans cette partie,

est une matrice fixée de

, définie positive. On range les valeurs propres de

, répétées suivant leur multiplicité, dans l'ordre croissant :

. On note

deux réels strictement positifs tels que

.
9) Pour tout élément

, montrer l'inégalité suivante:

Quelles sont les matrices pour lesquelles cette inégalité est une égalité pour tout de ?

Soit

la fonction polynomiale qui à tout

associe

Quelles sont, en fonction de celles de , les valeurs propres de la matrice ?
Montrer que toutes les valeurs propres de sont de même signe. Préciser ce signe.
Soit la matrice définie par

Montrer que

est symétrique positive.

Pour tout élément

, on considère l'application polynomiale

dans

défini par:

Calculer et et montrer que .
Établir que pour tout , l'inégalité suivante est satisfaite:

Soit . Établir l'identité suivante:

On suppose que n'est pas une homothétie. On considère (respectivement ) un vecteur colonne propre, de norme 1, pour la valeur propre (respectivement ). On pose . Calculer

Que peut-on en déduire sur l'inégalité (3)?

III. Inégalité de Pólya-Szegö

On suppose dorénavant que

sont deux matrices symétriques, définies positives qui commutent. On note

(respectivement

), la plus petite (respectivement la plus grande) valeur propre de

, pour

. On pose

.
19) Déterminer un réel

tel que pour tout élément

, l'inégalité suivante soit satisfaite:

Exprimer en fonction de , pour tout .
Montrer que pour tout , l'inégalité suivante est satisfaite:

Établir la relation (1).

FIN DU PROBLÈME