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Mines Mathématiques 2 PC 2009

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesSéries entières (et Fourier)Intégrales à paramètres
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Banque
Mines
Année
2009
Filière
PC
Matière
Maths
Mines PCMines 2009PC MathsMaths 2009
2025_08_29_2bb052f8482b2e18c373g
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2009
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Définitions et notations

  • On note l'ensemble des nombres réels positifs non entiers;
  • On note l'ensemble des nombres complexes de module inférieur strictement à 1 .
  • Si est un nombre complexe, on note sa partie réelle et sa partie imaginaire.
  • Dans tout le problème, on désigne par la fonction réelle de variable réelle définie par:

I Question préliminaire

  1. Soit un réel. Montrer que l'intégrale:
existe si et seulement si .
L'objet du problème est de calculer la valeur de cette intégrale.

II Une identité intégrale

Soit une fonction à valeurs réelles, définie et développable en série entière sur . On note les coefficients de son développement.
2) Montrer que l'expression
a un sens pour tout et tout .
Pour , on pose
  1. Montrer que pour tout , la fonction est continue sur .
  2. Montrer que pour tout , la fonction est développable en série entière sur , et donner les coefficients de son développement en série entière.
On considère la fonction définie sur par la relation :
Pour tout et tout , on considère l'expression :
  1. Calculer, pour tout et tout :
  1. Montrer que pour tout , la fonction est développable en série entière sur , et donner les coefficients de son développement en série entière. En déduire que pour tout et tout .
Pour tout et tout , on pose :
  1. Établir l'identité suivante pour tout et tout :

III Noyau de Poisson

Pour tout et tout , on définit le noyau de Poisson par :
  1. Établir l'identité suivante pour tout et tout :
  1. Montrer que pour fixé, la fonction est développable en série entière sur , et calculer les coefficients de son développement en série entière.
  2. Établir que pour tout on a :
Dans les questions 11) et 12) ci-dessous, on désigne par une fonction définie et continue sur , à valeurs réelles.
11) Montrer que pour tout , on a :
et
  1. En déduire que l'on a :
On pourra commencer par traiter le cas où .

IV Application à un calcul d'intégrale

Pour tout et tout , on pose :
  1. Pour tout et tout , exprimer en fonction de et de .
  2. Pour , fixé, déterminer la limite de quand tend vers 1 par valeurs inférieures.
  3. En déduire la valeur de pour tout .

Fin du problème

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