Mines Mathématiques 2 PC 2016

École des PONTS ParisTech, ISAE-SUPAERO, ENSTA ParisTech, TÉLÉCOM ParisTech, MINES ParisTech, MINES Saint-Étienne, MINES Nancy, TÉLÉCOM Bretagne, ENSAE ParisTech (Filière MP).

(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : Concours Commun TPE/EIVP, Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle international).

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

Mathématiques II - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

En 1770 Edward Waring, se basant sur des calculs empiriques, pose la conjecture suivante : pour un entier naturel fixé, on peut exprimer tout entier naturel comme somme d'au plus puissances -ièmes d'entiers naturels, ne dépendant que de . Le cas avait déjà été formulé par Fermat en 1640, Euler et Lagrange ont traité des cas particuliers et finalement en 1909 Hilbert a pu établir ce résultat (appelé parfois théorème de Hilbert-Waring).
On se propose ici de résoudre un problème analogue dans le cadre (algébrique) des polynômes à coefficients complexes. Plus précisément, on fixe un entier naturel et on étudie les équations

les inconnues ( ) étant dans . On s'intéresse particulièrement au plus petit entier pour lequel cette équation possède des solutions. L'objectif de ce problème est de prouver que et que pour , on a l'inégalité

On considère dorénavant que est un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
Soient des nombres réels. On note

le déterminant de Vandermonde de . On rappelle que

Pour tout et , on note

et on introduit le déterminant

On fixe à présent un intervalle de avec . Soient des fonctions de I dans , ( ) fois dérivables sur I; leur Wronskien est la fonction définie sur I par

On note l'espace vectoriel des fonctions ( ) fois dérivables de I dans R.
5. Montrer que si forment une famille liée dans alors est identiquement nulle sur I.
6. Soit et deux éléments de . On suppose que sur I et que ne s'annule pas sur I. Montrer alors que et forment une famille liée de .
7. Donner un exemple de fonctions , formant une famille libre dans et telles que .
8. En utilisant la question 4 montrer que si est la fonction nulle sur I, alors il existe un sous-intervalle , sur lequel les restrictions de à J forment une famille liée dans .

On suppose maintenant que , que les fonctions sont développables en séries entières au voisinage de 0 , qu'elles coïncident avec leur développement sur I et qu'elles forment une famille libre de . On définit l'ordre d'une série entière non nulle comme le plus petit entier naturel tel que .
9. Démontrer qu'il existe une matrice inversible telle que

où les sont des fonctions développables en série entière non nulles dont les ordres sont deux à deux distincts. On commencera d'abord par le cas .

On souhaite démontrer que pour ces fonctions , il existe un réel tel que

au voisinage de 0 .
10. Traiter le cas où pour tout , on a .
11. On choisit un entier a tel que pour tout , on ait . En utilisant la question 3 avec , montrer (1).
12. En déduire que est non nulle au voisinage de 0 .

Pour fixé, on se propose d'étudier les équations

en les inconnues et plus particulièrement le plus petit entier pour lequel cette équation possède des solutions. On notera ce plus petit entier . Si appartient à , on note

Lorsque cela est nécessaire, on identifie polynômes et fonctions polynomiales associées.
13. Montrer que est de la forme avec , et en déduire que l'ensemble des solutions de l'équation est non vide et que .
On notera en particulier que est fini.
14. Montrer que tout peut s'écrire sous la forme

Nous allons maintenant montrer que pour .
Soit avec . On considère les Wronskiens