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Mines Mathématiques 2 PC 2018

Fonctions harmoniques

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Equations différentielles
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Banque
Mines
Année
2018
Filière
PC
Matière
Maths
Mines PCMines 2018PC MathsMaths 2018
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2018

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Fonctions harmoniques

Soit un ouvert du plan , soit une fonction de classe . Son laplacien est alors défini sur par
La fonction est dite harmonique sur si elle est de classe et de laplacien nul sur , i.e. .

I Noyau de Dirichlet

Pour entier naturel et réel, on pose
  1. Vérifier la relation pour tout entier naturel.
  2. Pour et réel non multiple entier de , prouver que
  1. Soit une fonction de classe . Montrer que l'intégrale
tend vers 0 lorsque le réel tend vers .
On considère maintenant une fonction , de classe et périodique. Pour tout entier relatif, on pose
  1. Pour entier naturel et réel, prouver la relation
  1. En déduire que
où est une fonction continue sur que l'on explicitera.
On admettra que cette fonction est de classe sur le segment .
6. À l'aide d'une double intégration par parties, montrer que
lorsque tend vers .
7. Prouver la relation

II Coordonnées polaires

Le plan est muni de sa norme euclidienne canonique. Soit harmonique sur , où est un ouvert de . Soit un point de , soit tel que la boule ouverte soit incluse dans . Pour , on pose
  1. Montrer que la fonction est de classe sur . Vérifier, sur , la relation
Cette relation pourra éventuellement être admise pour traiter la suite du problème.
Pour , on pose
  1. Montrer que l'application est de classe sur l'intervalle . Prouver la relation
  1. En déduire que l'application est constante sur .

III Problème de Dirichlet

Soit une fonction harmonique à valeurs réelles sur un ouvert de . On suppose que la fonction admet un extremum global en un point de .
11. En utilisant les résultats de la partie II, montrer que est constante sur toute boule ouverte centrée en et incluse dans .
Soit une fonction à valeurs réelles, continue sur le carré fermé , harmonique sur son intérieur , et nulle sur la frontière de ce carré.
12. Montrer que est nulle sur .
Dans la fin de cette section III, on cherche à construire une fonction , avec , satisfaisant aux conditions suivantes :
est continue sur le carré fermé ;
est harmonique sur le carré ouvert ;

;
.
13. Construire une fonction vérifiant ces conditions et qui soit de la forme , où et sont deux fonctions continues de l'intervalle vers . Montrer ensuite que cette fonction est l'unique solution du problème posé.

IV Développement en série

Soit harmonique, où est le disque ouvert de centre et de rayon , avec . On posera . Pour et entier relatif, on pose
  1. En utilisant les calculs faits dans la question 8 , montrer que la fonction est solution sur [ [ de l'équation différentielle
  1. Résoudre l'équation sur en utilisant le changement de variable .
  2. En déduire, pour tout entier relatif, l'existence d'un coefficient complexe tel que l'on ait sur .
  3. Montrer que pour tout et tout ,
  1. Soit une fonction harmonique bornée sur . Montrer que est constante.

V Théorème de D'Alembert-Gauss

Dans cette dernière partie, on considère un polynôme , supposé non constant. Pour , on pose
  1. Exprimer et à l'aide des polynômes dérivés et . Montrer que la fonction est harmonique sur .
  2. Soit un ouvert du plan sur lequel ne s'annule pas. Montrer que la fonction est harmonique sur .
  3. Montrer qu'il existe un réel positif tel que, pour tout nombre complexe vérifiant , on ait .
  4. En déduire une preuve du théorème de d'Alembert-Gauss dont on rappellera l'énoncé précis.
Fin du problème
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