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Mines Mathématiques 2 PC 2023

Chaîne de Markov en temps continu

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Probabilités finies, discrètes et dénombrementSuites et séries de fonctionsSéries entières (et Fourier)
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Mines
Année
2023
Filière
PC
Matière
Maths
Mines PCMines 2023PC MathsMaths 2023
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2023

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : heures

L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Chaîne de Markov en temps continu

Dans tout le sujet on se fixe un entier naturel .
  • Soit . Pour tout , on note le coefficient à la ligne et la colonne de . Par abus, si est une matrice colonne ( ) on note pour . De même si est une matrice ligne ( ) on note pour .
  • On identifie avec . Pour tout on note la matrice colonne dont tous les coefficients sont nuls sauf la -ième qui vaut 1 . On rappelle que ( ) est une base de .
On note le vecteur colonne dont toutes les coordonnées sont égales à 1 . On a donc pour tout .
  • On appelle noyau de Markov une matrice telle que

  • On appelle probabilité un vecteur ligne tel que

  • On notera la matrice identité.

Préliminaires

Soit . Montrer que vérifie ( ) si et seulement si .
En déduire que si et sont deux noyaux de Markov alors est encore un noyau de Markov.
On se fixe un noyau de Markov .
Montrer que pour tout est un noyau de Markov.
Soit et , justifier que la série converge.
On notera la matrice définie par
Montrer que pour tout réel est un noyau de Markov.
Montrer que pour .
On pourra faire apparaître un produit de Cauchy.

Partie 1 - Modélisation probabiliste

On cherche à modéliser un système ayant états numérotés de 1 à . À l'instant initial le système est dans l'état 1 . Le système est soumis à des impulsions.
On suppose que pour tout , à chaque impulsion, si le système est dans l'état , il se retrouve dans l'état avec une probabilité qui ne dépend que de l'état où il était avant l'impulsion.
Ce système est modélisé par un espace probabilisé .
Pour tout entier , on note la variable aléatoire à valeurs dans qui correspond à l'état du sytème après impulsions. Pour tout et tout tels que on a donc . En particulier, cela ne dépend pas de . De plus, la variable est la variable certaine de valeur 1 .
On considère la matrice définie par
Justifier que est un noyau de Markov.
Soit . Soit montrer que .
On pourra procéder par récurrence.
Soit . On suppose que le nombre d'impulsions après un temps est donné par une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre . Pour tout on note l'événement «le système est dans l'état après un temps ». Justifier que .

Partie 2 - Étude d'un endomorphisme autoadjoint

Soit un espace euclidien de dimension . On note ( ) le produit scalaire et |||| la norme euclidienne associée. Soit un endomorphisme autoadjoint de . On pose défini par et on suppose que pour tout .
Énoncer le théorème spectral pour l'endomorphisme . Que peut-on dire des valeurs propres de ?
On suppose que 0 est valeur propre simple de et on note la plus petite valeur propre non nulle de . On note la projection orthogonale sur la droite vectorielle .
Montrer que pour tout .

Partie 3 - Convergence de

On considère un noyau de Markov . On suppose que 1 est une valeur propre simple de .
On suppose qu'il existe une probabilité telle que :
(a) Pour tout .
(b) ; on dit que est -reversible.
Un rapide calcul montre alors que pour tout réel positif est aussi un noyau de Markov -réversible c'est-à-dire que
On ne demande donc pas de démontrer ce résultat.
Pour finir, pour , on pose
Dans cette dernière partie, on cherche à déterminer pour la limite de quand tend vers et à majorer la vitesse de convergence.
Montrer que .
Montrer que est un produit scalaire sur .
Dans la suite on note l'espace l'espace euclidien muni de ce produit scalaire.
On considère l'endomorphisme de défini par . Montrer que et que est un endomorphisme autoadjoint de .
On admet que pour tout , l'endomorphisme est aussi un endomorphisme autoadjoint de .
Montrer que pour tout ,
Que dire des valeurs propres de ?
Soit , on note la fonction définie de dans par et la fonction définie de dans par
Justifier que est dérivable et que pour tout dans ,
En déduire que est dérivable et exprimer à l'aide de .
On note la projection orthogonale sur .
Soit . Montrer que .
On pose . On note la plus petite valeur propre non nulle de .
Montrer que pour tout réel .
En déduire que .
Soit et . Montrer que .
Montrer que pour tout et tout ,
On pourra utiliser la question 5.
En déduire que pour tout et tout ,
Déterminer .

Fin du problème

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