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Mines Mathématiques 2 PSI 2003

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Algèbre linéaireGéométrieAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensAlgèbre générale
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Mines
Année
2003
Filière
PSI
Matière
Maths
Mines PSIMines 2003PSI MathsMaths 2003
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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2003
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ÉPREUVE Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première
page de la copie :
MATHÉMATIQUES 2-Filière PC.
Cet énoncé comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Première partie

Soit M l'espace vectoriel des matrices réelles carrées d'ordre 3. Soit le produit cartésien . Il est admis que cet ensemble est un espace vectoriel réel à l'aide de la loi interne, addition, et de la loi externe, multiplication par un réel, définies par les relations suivantes :
La somme de deux éléments de et est l'élément :
Le produit d'un réel et de l'élément ( ) est l'élément ( ) de :
En plus de ces lois de composion, soit la loi de composition interne, appelée produit, qui, aux deux éléments de et fait correspondre l'élément de et sont respectivement les produits des matrices et .
L'algèbre ( ) :
  1. Quelle est la dimension de l'espace vectoriel ?
  2. Démontrer que l'espace est une -algèbre associative unitaire. L'élément unité de cette algèbre est noté .
Étant donné l'élément de , soit l'élément de défini à l'aide des matrices transposées et des matrices et de la façon suivante :
Soit le sous-ensemble des éléments ( ) de tels que :
  • la matrice est orthogonale directe : son déterminant est égal à 1 .
  • les matrices et vérifient la relation :

Le groupe G :

  1. Démontrer que le sous-ensemble de est, pour la loi produit , un groupe.
  2. Soit le sous-ensemble des éléments ( ) du groupe . Démontrer que est un sous-groupe de isomorphe au groupe .
  3. Soit le sous-ensemble des éléments ( ) de ( est la matrice unité).
Est-ce que est un sous-groupe de ?
6. Démontrer que, pour qu'un élément ( ) de appartienne à , il faut et il suffit que le déterminant de la matrice soit égal à 1 et que la relation ait lieu :

Seconde partie

Le but de cette partie est de montrer qu'il existe un isomorphisme entre le groupe des déplacements de l'espace de la géométrie affine euclidienne et le groupe étudié ci-dessus.
Dans toute la suite, est un espace vectoriel euclidien orienté par une base orthonormée directe . Le produit scalaire de deux vecteurs et est noté .

Un résultat préliminaire :

7 . Soit un vecteur de ; soit l'endomorphisme de dans luimême qui, au vecteur , associe le produit vectoriel des vecteurs et : . Quelle est la matrice associée à l'application dans la base de ?
8. Soit une rotation de dans lui-même ; comparer pour deux vecteurs quelconques et de les expressions suivantes:
  1. Démontrer que, si est une rotation de et un vecteur de , il existe un vecteur de tel que l'endomorphisme , composé de et de , est égal à l'endomorphisme , composé de et de :
exprimer ce vecteur en fonction du vecteur et de la rotation .
Dans toute la suite, soit l'espace de la géométrie affine euclidienne orientée ; est supposé être un espace affine de direction un espace vectoriel euclidien orienté . Soit une origine et trois vecteurs orthonormés constituant avec le point un repère direct.

Détermination d'une droite à l'aide de deux vecteurs et d'un repère

L'espace est muni d'un repère orthonormé direct ; soit une droite de l'espace affine un point de cette droite et un vecteur directeur unitaire de cette droite.
10. Soit un point quelconque de la droite . Démontrer que le vecteur , égal au produit vectoriel des vecteurs et , est indépendant du point de la droite :
Comparer les directions des deux vecteurs et .
11. Soient et deux vecteurs de l'espace tels que le vecteur soit unitaire ( ) et orthogonal à . Déterminer, à l'aide des deux vecteurs et , les vecteurs de , solutions de l'équation suivante :
  1. Étant donnés deux vecteurs et de l'espace tels que le vecteur soit unitaire ( ) et orthogonal à , démontrer qu'il existe une seule droite de l'espace telle qu'un vecteur directeur unitaire de la droite soit le vecteur et que tout point de vérifie la relation suivante :
  1. Exemple : les vecteurs et sont définis, dans le repère , par les relations suivantes :
où et sont deux réels donnés. Déterminer la droite correspondante.
Soit le sous-ensemble de des couples de deux vecteurs ( ) tels que le premier vecteur soit unitaire et le second soit perpendiculaire à .
14. À quelle condition nécessaire et suffisante deux couples de vecteurs ( ) et ( ), appartenant à , déterminent la même droite ?
Soit un déplacement de l'espace muni du repère orthonormé direct ; par définition, il est égal à l'application composée d'une rotation de l'espace et d'une translation de vecteur de ; soit l'image par ce déplacement d'un point ; le vecteur est relié au vecteur par la relation suivante :
Isomorphisme entre le groupe des déplacements de l'espace et le groupe :
Soient un déplacement, une droite quelconque de l'espace et l'image de la droite par le déplacement :
  1. Aux deux droites et de l'espace , muni du repère orthonormé direct , sont associés d'après la question 14 des couples de vecteurs ( ) et ( ) ; démontrer que, le couple de vecteurs ( ) étant fixé, il est possible de choisir le couple de vecteurs( ) de façon que les vecteurs et s'expriment au moyen des vecteurs et par les relations suivantes:
où et sont deux endomorphismes de tels que le déterminant de soit strictement positif ( ).
16. Au déplacement est donc associé le couple des deux endomorphismes et . Soient et les matrices associées aux endomorphismes et dans une base orthonormée directe de . Démontrer que le couple de matrices appartient au groupe .
17. Démontrer que l'application qui, au déplacement de associe l'élément du groupe , est injective.
18. Exemple : soit la droite du plan d'équation ( est un réel différent de zéro donné) ; soit son image par le déplacement égal à la rotation d'axe et d'angle suivie de la translation de vecteur . Déterminer les endomorphismes et associés à ce déplacement et les couples de vecteurs ( ) et ( ) associés respectivement aux droites et . Vérifier dans ce cas particulier la relation obtenue à la question 15.
19. Démontrer que l'application qui, à un déplacement de l'espace associe le couple de matrices du groupe est bijective.

Droite invariante dans un déplacement :

  1. Soit un déplacement, distinct de l'application identique ; à ce déplacement est associé un couple de matrices appartenant à . Rechercher l'existence d'une droite invariante par le déplacement en considérant le couple de vecteurs ( ) associé à cette droite. Écrire les relations vérifiées par ces vecteurs inconnus . Quelle conclusion y a-t-il lieu d'en tirer sur le vecteur ?
  2. Déterminer la droite invariante dans l'exemple de la question 18.

FIN DU PROBLÈME

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