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Mines Mathématiques 2 PSI 2010

Déterminants et formule de condensation

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Algèbre linéaireTopologie/EVN
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Mines
Année
2010
Filière
PSI
Matière
Maths
Mines PSIMines 2010PSI MathsMaths 2010
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PSI). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS 2010

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PSI

(Durée de l'épreuve : trois heures)
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PSI L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Déterminants et formule de condensation.

Le but de ce problème est de montrer la formule dite de condensation sur les déterminants et d'en explorer les applications et généralisations.

Notations

Soit un entier supérieur ou égal à 1 et une matrice de (l'ensemble des matrices carrées d'ordre à coefficients réels). On dira aussi que est une matrice de taille .
  • On note le coefficient de qui se trouve sur la -ème ligne et -ème colonne.
  • On note sa transposée définie par pour tout .
  • On note son déterminant.
  • Pour et , on note la matrice de obtenue à partir de en enlevant la -ème ligne et la -ème colonne.
  • Plus généralement, soit .
Pour et , vérifiant et si , on note la matrice de obtenue à partir de en enlevant les lignes d'indices et les colonnes d'indices . On conviendra que cette matrice vaut si .
  • On note la comatrice de définie par
  • On désignera par la matrice identité de et par la base canonique de l'espace vectoriel réel .

I. Préliminaires.

1 - Soit un entier non nul. Montrer que l'application de dans définie par
est une norme sur .
Dans le cas où n'est pas inversible, on rappelle qu'il existe deux matrices inversibles et (de tailles ) telles que .J.Q où
étant une matrice diagonale dont les premiers éléments diagonaux valent 1 et dont les derniers éléments diagonaux valent 0 . Si on convient que .
2 Rappeler l'interprétation de .
3 - On conserve les notations de la question précédente. Montrer qu'il existe une suite de matrices inversibles de telle que au sens de la distance associée à la norme .
4 - Montrer que le déterminant définit une fonction continue de , muni de la distance associée à la norme , dans (on pourra écrire le déterminant comme une somme de fonctions toutes en forme de produits).

II. Formule de condensation

On se propose de montrer dans cette partie la formule de Desnanot-Jacobi, dite de condensation, suivante où est un entier :
,
5 - Soit . Calculer
en fonction et de .
6 - Montrer que
pour , vérifiant (on interprètera le membre de gauche comme le développement par rapport à une ligne du déterminant d'une certaine matrice).
7 - Déduire des deux questions précédentes le fait que où est un nombre réel que l'on précisera.
On introduit la matrice de suivante :
Autrement dit, est obtenue à partir de en remplaçant, pour chaque et chaque le coefficient par 0 si et par 1 si .
8 - Calculer en fonction .
9 - Ecrire le calcul explicite de la matrice produit sous la forme du tableau usuel de taille .
10 - En utilisant la question précédente, démontrer (1) dans le cas où est inversible.
11 - Démontrer (1) dans le cas où n'est pas inversible.

III. Algorithme de Lewis Carroll

Le Révérend Charles L. Dodgson, plus connu sous son nom de plume, Lewis Carroll, s'est servi de la formule de condensation (1) pour mettre au point un algorithme de calcul de déterminant , n'utilisant que le calcul de déterminants .
L'algorithme fonctionne comme suit.
On doit trouver le déterminant d'une matrice de taille .
Pour cela, on met en jeu une suite de couples de matrices pour définies comme suit.
Pour et est la matrice de dont tous les coefficients valent 1.
Voici comment l'on passe du couple au couple .
Si aucun des coefficients de n'est nul, (ce qui est le cas pour ) alors on pose,
Bien entendu, dans le membre de droite qui définit le terme désigne un déterminant . Enfin, si a pu être défini par la précédente procédure, alors on définit la matrice de taille par :
Noter qu'il n'y a pas de terme . L'algorithme se termine en affirmant que , on prouvera plus loin sa validité. Si l'un des coefficients de est nul, l'algorithme ne s'applique pas, et Lewis Carroll préconise de recommencer après avoir échangé (convenablement) des lignes dans la matrice initiale.
Exemple :
Le déterminant de vaut donc 77 .
12 - Appliquer cet algorithme au calcul du déterminant de
13 - Soit . On suppose que l'algorithme se termine sans qu'aucun des coefficients des matrices ne s'annule. Quel est le nombre de déterminants que l'on a calculé au cours de la procédure?
Une autre méthode de calcul de déterminant consiste à répéter le développement suivant des lignes par cofacteurs jusqu'à ce qu'on obtienne des déterminants . L'objet de la question suivante est d'étudier le nombre de déterminants ainsi obtenus.
14 - Soit donc le nombre de déterminants calculés lorsque l'on applique la méthode de développements successifs par rapport à des lignes pour calculer le déterminant d'une matrice de taille . Etablir une relation entre et . Puis, comparer et lorsque .
On se place désormais dans le cas où l'algorithme de Lewis Carroll s'applique. On se propose de montrer sa validité.
15 - Soit . En appliquant la formule de condensation, montrer que est le déterminant d'une matrice , extraite de , que l'on précisera.
16 - Soit et .
Généraliser le résultat précédent en exprimant comme le déterminant d'une matrice de taille ( ) extraite de que l'on précisera. Prouver que
ce qui établit la validité de l'algorithme.

IV. Le -déterminant

Soit . On introduit la notion de -déterminant d'une matrice de convenable, noté , de la manière suivante.
Soit .
Soit .
On impose de plus, pour toute matrice de , la formule de condensation suivante :
Cette condition (2) permet donc de définir, par récurrence, le -déterminant pour une matrice de taille , à la condition de ne pas avoir à diviser par 0 au cours de son calcul. Plus précisément, supposons que cette procédure par récurrence ait permis de définir le membre de droite de (2) ainsi que et qu'en plus ce dernier soit non nul. Alors on définit par (2) puisqu'on peut diviser par .
Dans la suite, désigne une matrice de pour laquelle est bien défini.
17 - Soit , et . On note la matrice obtenue à partir de par multiplication de la colonne de par . Montrer que est bien défini et donner sa valeur en fonction et de .
On considère un vecteur de tel que les réels sont tous non nuls. On introduit la matrice de Vandermonde de taille :
où est le coefficient situé sur la -ème ligne et la -ème colonne.
18 - On suppose que est non nul pour tous tels que . Calculer en fonction des ). (On commencera par le cas puis on procédera par récurrence sur ).

Fin du Problème

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