ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS 2013

(Durée de l'épreuve : trois heures) L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

On note l'ensemble des entiers naturels, l'ensemble des entiers naturels non nuls, l'ensemble des entiers relatifs, l'ensemble des nombres complexes et l'ensemble des nombres complexes non nuls.

Si est une suite numérique, on note la limite (si elle existe) de la suite .

L'expression : signifie "pour tout entier tel que ."
Soit , on rappelle que si , alors .
Dans tout ce problème notera un nombre complexe non nul et un nombre réel tel que .

Question 1 Soient une suite dans et , démontrer par récurrence que

On pose

Question 2 Montrer que est bien défini, c'est-à-dire que la suite de terme général converge.
Question 3 Soit , montrer que le produit infini converge. On pourra utilement penser à l'utilisation du Logarithme pour transformer le produit infini en série.
Question 4 Soit , montrer que la série converge.
Question 5 En déduire que est bien défini.
Question 6 A l'aide de l'inégalité (1) démontrer que quand .
On pose

Question 7 Montrer que

et en déduire que .
On admettra que se décompose de façon unique sous la forme suivante :

où pour fixé, et sont les sommes respectives de deux séries entières de rayon de convergence infini, soit

les fonctions et de la variable réelle étant à valeurs dans C. On notera

Question 8 On pose . Démontrer que et que, pour .
Question 9 En déduire que si vérifie à la fois (4) et , alors les fonctions et sont égales, c'est-à-dire que les coefficients dans l'expression (4) de sont déterminés de façon unique.
Question 10 Montrer qu'il existe des fonctions , de la variable réelle valeurs dans , telles que

Question 11 A l'aide de la question 7, montrer que .
Question 12 Montrer que et donner l'expression de en fonction de et .
Question 13 A l'aide de l'inégalité (1) démontrer que quand .
Question 14 En déduire que quand .
On pose

Question 15 Montrer que

Question 16 En déduire que .
On pose .
Question 17 A l'aide de la question 16 et de l'expression de de la question 12, montrer que .
Question 18 En utilisant une récurrence et à l'aide des questions 14 et 6, en déduire que pour tout et la formule du triple produit

Question 19 En posant et par un choix judicieux de , déduire la formule des nombres pentagonaux d'Euler :

de celle du triple produit (6).
Si est un entier positif, on note et on appelle nombre de partitions de le nombre de façons de représenter comme une somme d'entiers positifs sans prendre en considération l'ordre des termes; c'est encore le nombre de solutions de l'équation

On aura par exemple car , partitions que l'on représente sous la forme des trois diagrammes de Ferrer suivants :

On note l'ensemble des solutions de (8). On note également l'ensemble des solutions de

On note l'application définie par où .
Question 20 En s'aidant de l'application , démontrer que et comportent le même nombre d'éléments.
Question 21 Démontrer que pour est le coefficient de dans le développement de .
Question 22 A l'aide de la formule d'Euler (7), démontrer que

Question 23 En déduire la valeur de .