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Mines Mathématiques 2 PSI 2015

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiens
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Banque
Mines
Année
2015
Filière
PSI
Matière
Maths
Mines PSIMines 2015PSI MathsMaths 2015
2025_08_29_e1e314e294cec3dad68dg
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PSI

(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP,
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PSI.
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Notations

Dans tout le problème désigne un entier naturel non nul .
  • Dans espace vectoriel réel de dimension , on utilisera le produit scalaire canonique défini par :
  • On notera , l'espace vectoriel des matrices carrées de taille à coefficients réels.
  • Pour , on notera , le noyau de vu comme endomorphisme de .
  • Dans , on notera la matrice nulle et la matrice unité. Le déterminant est noté det.
  • désigne le groupe linéaire des matrices inversibles de .
  • désigne le groupe orthogonal d'indice , formé des matrices orthogonales de .
  • On sera enfin amené à utiliser des décompositions par blocs. On rappelle en particulier que si , on a alors dans :

I Le groupe symplectique

Soit et soit ou simplement la matrice de définie par
On note
  1. Calculer et en fonction de et . Montrer que est inversible et identifier son inverse.
  2. Vérifier que et que pour tout réel ,
  1. Pour tout , vérifier que est dans .
  2. Si , préciser les valeurs possibles de .
  3. Montrer que le produit de deux éléments de est un élément de .
  4. Montrer qu'un élément de est inversible et que son inverse appartient à .
  5. Montrer que si alors .
Soit une matrice de écrite sous la forme
  1. Déterminer des relations sur et caractérisant l'appartenance de à .

II Centre de

On s'intéresse ici au centre de c'est-à-dire :
  1. Justifier l'inclusion suivante : .
Réciproquement, soit écrite sous la forme
  1. En utilisant et sa transposée, obtenir et , étant inversible.
  2. Soit . En utilisant , montrer que commute avec toute matrice .
  3. Conclure que et .
Indication : on montrera d'abord que les matrices commutent avec , où ( ) est la base canonique de .

III Déterminant d'une matrice symplectique

Soit dans que l'on décompose sous forme de matrices blocs
avec . Dans toute cette partie, les matrices sont les matrices de cette décomposition.
On suppose dans les questions 13 et 14 que est inversible.
13. Montrer qu'il existe quatre matrices de telles que
  1. En utilisant la question 8 , vérifier que est symétrique, puis que
Soit telles que soit symétrique et non inversible. On suppose qu'il existe deux réels différents et deux vecteurs non nuls dans tels que:
  1. Montrer que le produit scalaire est nul.
On suppose dorénavant non inversible.
16. Montrer que .
Soit un entier, . Soit des réels non nuls et deux à deux distincts et des vecteurs non nuls tels que
  1. Montrer que pour tout et que la famille ( ) forme un système libre de .
  2. En déduire qu'il existe un réel tel que soit inversible.
  3. Montrer alors que toute matrice de est de déterminant égal à 1 .

Fin du problème

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