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Mines Mathématiques 2 PSI 2017

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Algèbre linéaireRéduction
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Mines
Année
2017
Filière
PSI
Matière
Maths
Mines PSIMines 2017PSI MathsMaths 2017
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne), ENSAE PARISTECH.

Concours Centrale-Supelec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2017

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Endomorphismes échangeurs

Durée prévue : 3 h

Dans tout le problème, les espaces vectoriels considérés ont , le corps des nombres complexes, pour corps de base.
Étant donné deux entiers naturels et non nuls, on note l'espace vectoriel des matrices à lignes, colonnes et à coefficients dans (et sa matrice nulle) et celui des matrices carrées à lignes et à coefficients dans (et sa matrice nulle).
Soit in -espace vectoriel. On note l'espace vectoriel des endomorphismes de .
Un endomorphisme de est dit échangeur lorsqu'il existe des sous-espaces vectoriels et de tels que
Étant donné deux endomorphismes et de , on dit que est semblable à lorsqu'il existe un automorphisme de tel que . On notera que dans ce cas , si bien que est semblable à .
On dit que est de carré nul lorsque est l'endomorphisme nul de . On dit que est nilpotent lorsqu'il existe un entier naturel tel que . Une matrice est dite de carré nul lorsque .
L'objectif du problème est d'établir, pour un endomorphisme d'un C -espace vectoriel de dimension finie, l'équivalence entre les conditions suivantes :
(C1) L'endomorphisme est échangeur.
(C2) Il existe et , tous deux de carré nul, tels que .
(C3) Les endomorphismes et sont semblables.
Chacune des parties A et B est indépendante des autres. Les résultats de la partie sont essentiels au traitement des parties et .

A Quelques considérations en dimension 2

On se donne ici un -espace vectoriel de dimension 2 et un endomorphisme de .
  1. Montrer que si vérifie la condition (C3) alors est de trace nulle.
Jusqu'à la fin de cette partie, on suppose de trace nulle et de déterminant non nul.
On choisit un nombre complexe tel que .
2. Montrer que , déterminer le spectre de et préciser la dimension des sous-espaces propres de .
3. Expliciter, à l'aide de vecteurs propres de , une droite vectorielle telle que , et en déduire que est échangeur.

B La condition (C1) implique (C2) et (C3)

Soit et deux entiers naturels non nuls. Soit et . On considère dans la matrice
  1. Calculer le carré de la matrice de . Montrer ensuite que est la somme de deux matrices de carré nul.
  2. On considère dans la matrice diagonale par blocs
Montrer que est inversible, calculer puis , et en déduire que est semblable à .
Jusqu'à la fin de cette partie, on se donne un endomorphisme d'un -espace vectoriel de dimension finie. On suppose que est échangeur, et on se donne donc une décomposition dans laquelle et sont des sous-espaces vectoriels vérifiant et .
6. On suppose ici et tous deux non nuls.
On se donne une base de et une base de . La famille est donc une base de .
Compte tenu des hypothèses, décrire la forme de la matrice de dans .
7. Déduire des questions précédentes que vérifie les conditions (C2) et (C3).
On n'oubliera pas de considérer le cas où l'un des sous-espaces vectoriels et est nul.

C La condition (C2) implique la condition (C1): cas d'un automorphisme

Dans cette partie, désigne un automorphisme d'un -espace vectoriel de dimension finie. On suppose qu'il existe deux endomorphismes et de tels que
  1. Soit un endomorphisme de tel que . Comparer à et en déduire
  1. Démontrer que , et que et .
  2. En déduire que est échangeur.

D Intermède : un principe de décomposition

On se donne dans cette partie un -espace vectoriel de dimension finie, ainsi qu'un endomorphisme de . On se donne un nombre complexe arbitraire. On pose .
11. Montrer que la suite est croissante pour l'inclusion.
12. Montrer qu'il existe un entier naturel tel que
On pourra introduire la plus grande dimension possible pour un sous-espace vectoriel de la forme pour dans . Montrer qu'alors
et que peut être choisi parmi les entiers pairs.
Dans la suite de cette partie, on fixe un entier naturel pair donné par la question 12 et l'on pose
On notera que est un sous-espace vectoriel de .
13. Montrer que et en déduire
Montrer en outre que les sous-espaces vectoriels et sont tous deux stables par .
14. Montrer que n'est pas valeur propre de l'endomorphisme induit par sur . Montrer que si n'est pas nul alors est l'unique valeur propre de l'endomorphisme induit par sur .
15. On se donne ici un nombre complexe différent de . On suppose que toute valeur propre de différente de est égale à .
Montrer que , puis que .
On pourra s'intéresser au polynôme caractéristique de l'endomorphisme induit par sur .

E La condition (C2) implique la condition (C1): cas non bijectif

Dans cette partie, on admet la validité de l'énoncé suivant :
Théorème : Tout endomorphisme nilpotent d'un espace vectoriel de dimension finie est échangeur.
On se donne ici un endomorphisme non bijectif d'un -espace vectoriel de dimension finie. On suppose qu'il existe deux endomorphismes et de tels que
  1. Montrer que et commutent avec .
On fixe maintenant un entier pair tel que , donné par la question 12.
17. Montrer que le sous-espace vectoriel est stable par et et que les endomorphismes induits et sont de carré nul.
18. En déduire que est échangeur. On pourra utiliser, entre autres, le résultat final de la partie .

F La condition (C3) implique la condition (C1)

Soit un -espace vectoriel de dimension finie non nulle. Un endomorphisme de est dit indécomposable lorsque :
(i) La condition (C3) est vérifiée par .
(ii) Il n'existe aucune décomposition dans laquelle et sont des sous-espaces vectoriels non nuls, stables par et tels que les endomorphismes induits respectifs et vérifient tous deux la condition (C3).
Jusqu'à la question 21 incluse, on se donne un endomorphisme indécomposable de . On dispose en particulier d'un automorphisme de tel que
  1. Montrer que commute avec .
  2. Montrer que possède une unique valeur propre . En déduire que les valeurs propres de sont parmi et , pour un certain nombre complexe non nul .
    On utilisera l'indécomposabilité de u ainsi que les résultats des questions 13 et .
  3. En déduire que est échangeur.
On pourra appliquer le résultat final de la question 15.
22. En déduire plus généralement que, pour tout endomorphisme d'un -espace vectoriel de dimension finie, la condition (C3) implique la condition (C1).

Fin du problème

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