J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

Mines Mathématiques 2 PSI 2022

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
RéductionPolynômes et fractionsFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Equations différentiellesAlgèbre linéaire
Logo mines
🔗 Explorer
Banque
Mines
Année
2022
Filière
PSI
Matière
Maths
Mines PSIMines 2022PSI MathsMaths 2022
2025_08_29_9265854a5df4e00d7dedg

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2022

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Matrices de Hurwitz

Notations

  • désigne un entier naturel non nul.
  • désigne ou .
  • désigne l'espace vectoriel des matrices carrées de taille et à coefficients dans et pour une matrice de , on note son polynôme caractéristique.
  • désigne l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans désigne le sous-espace vectoriel de des polynômes de degré inférieur ou égal à .
  • .
  • On désigne par le produit scalaire usuel de et . é
  • On confondra abusivement, pour le calcul matriciel, le vecteur de avec la matrice colonne de ses coordonnées dans la base canonique de .
  • Pour de , on notera son conjugué , sa partie réelle et sa partie imaginaire .
  • Si , l'endomorphisme de (respectivement ) canoniquement associé à est

Rappels

  1. Deux matrices et de sont semblables dans si il existe une matrice de inversible telle que .
    Deux matrices et de sont semblables dans si il existe une matrice de inversible telle que .
  2. Soient et deux polynômes de est un diviseur de s'il existe un polynôme de tel que .
Les polynômes irréductibles de sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 dont le discriminant est strictement négatif.

Objectifs

  • Il s'agit d'établir pour un système différentiel linéaire d'ordre 1, une équivalence entre des propriétés qualitatives des solutions et des conditions portant sur la nature de la matrice asssociée à ce système et de son polynôme caractéristique.
  • La partie 1 concerne l'étude de propriétés de matrices semi-simples.
  • La partie 2 propose de trouver une caractérisation de matrices diagonalisables de .
  • La partie 3 est consacrée à l'étude des polynômes de Hurwitz.
  • Les parties 1, 2 et 3 sont indépendantes.
  • La partie 4, sur l'équivalence anoncée pour les systèmes différentiels, utilise des résultats des parties 1 et 3 .

1 Matrices semi-simples

Définition 1 Une matrice de est dite semi-simple si elle est diagonalisable dans .
Définition 2 Une matrice de est dite presque diagonale s'il existe :
i) deux entiers naturels et ;
ii) réels ;
iii) q réels non nuls ;
iv) une matrice diagonale de tels que et est la matrice bloc suivante :
où, . Si , la matrice n'est pas présente dans la matrice diagonale par blocs . De même, si , alors .
Soit la matrice de définie par :
La matrice est-elle semi-simple?
Soit la matrice de définie par :
Démontrer que est semi-simple et en déduire l'existence d'une matrice de inversible et de deux réels et à déterminer tels que :
Indication : on pourra, pour un vecteur propre de , introduire les vecteurs et .
Soit une matrice de .
On suppose dans la question 3) seulement que admet deux valeurs propres complexes et avec et .
Démontrer que est semi-simple et semblable dans à la matrice :
Démontrer que est semi-simple si et seulement si l'une des conditions suivantes est satisfaite :
i) est diagonalisable dans ;
ii) admet deux racines complexes conjuguées de partie imaginaire non nulle.
Soit une matrice de semblable à une matrice presque diagonale. Démontrer que est semi-simple.
Soit une matrice de . Donner la forme factorisée de dans , en précisant dans les notations, les racines réelles et les racines complexes conjuguées. En déduire que si est semi-simple alors elle est semblable dans à une matrice presque diagonale.

2 Une caractérisation des matrices diagonalisables de

Dans cette partie, désigne un -espace vectoriel de dimension et désigne un endomorphisme de .
On suppose dans les questions 7), 8) et 9) que est diagonalisable. On note une base de E formée de vecteurs propres de . Soit un sous-espace vectoriel de , différent de et de .
Démontrer qu'il existe tel que et qu'alors et la droite vectorielle engendrée par sont en somme directe.
On note alors
et
8 - Démontrer que admet un plus grand élément que l'on nommera .
Démontrer que admet un supplémentaire dans , stable par .
10 - On suppose que tout sous-espace vectoriel de possède un supplémentaire dans , stable par . Démontrer que est diagonalisable. En déduire une caractérisation des matrices diagonalisables de .
Indication : on pourra raisonner par l'absurde et introduire un sous-espace vectoriel, dont on justifiera l'existence, de dimension et contenant la somme des sous-espaces propres de u.

3 Polynômes de Hurwitz

Définition 3 Un polynôme est dit polynôme de Hurwitz si ses racines dans appartiennent à .
Définition 4 Un polynôme est dit à coefficients strictement positifs s'il est non nul et si, d désignant son degré, où, pour tout
11 - Soit . Démontrer que si est une racine d'un polynôme de , à coefficients strictement positifs, alors .
Démontrer que tout diviseur d'un polynôme de Hurwitz est un polynôme de Hurwitz.
Soit un polynôme de Hurwitz de irréductible et à coefficient dominant positif. Démontrer que tous les coefficients de sont strictement positifs.
Soit . Soient . On définit les deux polynômes et de par :
On suppose et . Si les coefficients de sont strictement positifs, est-il alors un polynôme de Hurwitz?
Soient et deux polynômes de dont tous les coefficents sont strictement positifs. Démontrer que les coefficients du produit sont également strictement positifs.
Démontrer que si et sont dans , alors on a l'équivalence : est un polynôme de Hurwitz si et seulement si les coefficients de et sont strictement positifs.

4 Système différentiel de matrice associée semi-simple

Soit . On note ( ) le système différentiel :
où est une application de la variable de dans , dérivable sur .
Soit . On suppose que est semblable à dans et on note ( ) le système différentiel
Démontrer que les coordonnées d'une solution de ( ) sont combinaisons linéaires des coordonnées d'une solution de .
Dans les deux questions suivantes 18) et 19), on suppose , on note alors où et sont deux fonctions dérivables de dans et on pose .
On suppose qu'il existe et réels tels que .
Démontrer que est solution de si et seulement si est solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 à déterminer. En déduire une expresssion, en fonction de , des coordonnées des solutions de .
Résoudre le système où est la matrice de la question 2).
Soit semi-simple. Donner une condition nécessaire et suffisante, portant sur les parties réelles et imaginaires des valeurs propres de , pour que toute solution de ait chacune de ses coordonnées qui tende vers 0 en .
On reprend le cas général et on considère les assertions suivantes :
est un polynôme de Hurwitz;
Les solutions de ( S ) tendent vers quand tend vers ;
Il existe , il existe tels que pour toute solution de ,
Soit . On suppose que vérifie la condition suivante :
Démontrer que est vraie avec pour toute solution de .
Indication : on pourra introduire la fonction .
On suppose que est semi-simple. Démontrer que les assertions et sont équivalentes.
Indication : on pourra commencer par implique .

Fin du problème

  1. Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France.
    Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts.
Mines Mathématiques 2 PSI 2022 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa