J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

Mines Mathématiques 2 PSI 2024

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Probabilités finies, discrètes et dénombrementIntégrales généraliséesSéries et familles sommables
Logo mines
🔗 Explorer
Banque
Mines
Année
2024
Filière
PSI
Matière
Maths
Mines PSIMines 2024PSI MathsMaths 2024
2025_08_29_9c43aa743731af794e9ag

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2024

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Étude de marche aléatoire

Notations

On rappelle l'expression des coefficients binomiaux. Lorsque et sont deux entiers, on pose :
On pourra utiliser sans démonstration l'équivalent de Stirling, valable lorsque l'entier naturel tend vers :

1 Une propriété sur les sommes de Riemann

Dans toute la suite, pour tous réels , on note l'ensemble des fonctions : continues sur l'intervalle , intégrables sur et vérifiant de plus :
Soit une fonction continue. Démontrer que la restriction de la fonction à l'intervalle appartient à l'ensemble .
En posant pour tout entier et , montrer que l'on peut choisir un entier tel que:
En déduire que la fonction définie par :
est une fonction bien définie et continue sur , intégrable sur et que cette fonction n'appartient pas à l'ensemble .
Dans la suite, on définit la fonction :
Montrer que la fonction est intégrable sur , puis montrer que la fonction appartient à .
On note la restriction de la fonction à l'intervalle . Vérifier que la fonction est décroissante sur , puis montrer que la fonction appartient à .
Montrer que la fonction est intégrable sur et que :
Prouver alors que :
Montrer que :
En déduire que :
Déduire des questions précédentes que la fonction appartient à .
Montrer que :
Montrer que lorsque tend vers , on a un équivalent de la forme :
où la constante est à préciser.
En déduire la limite:
On considère une suite de nombres réels strictement supérieurs à -1 , convergente de limite nulle.
Montrer que :
En déduire que :

2 Une étude de marche aléatoire

Dans cette partie, on considère une suite de variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé ( ) et à valeurs dans l'ensemble à deux éléments , ces variables aléatoires étant mutuellement indépendantes et centrées. Pour tout , on note :
Montrer que pour tout , la variable aléatoire suit une loi de Bernoulli de paramètre .
Dans la suite, on fixe l'entier . On appelle chemin, tout -uplet dont les composantes valent -1 ou 1 .
Si est un chemin, on appelle indice d'égalité, tout entier tel que . On remarquera alors qu'un entier est un indice d'égalité si et seulement si le -uplet comporte autant de composantes égales à 1 que de composantes égales à -1 .
On note la variable aléatoire qui à tout élément de l'univers compte le nombre d'indices d'égalité du chemin .
On note pour tout entier entre 1 et , l'événement défini par
éé
Calculer la probabilité , pour tout entier entre 1 et .
Soit un entier et un autre entier. En distinguant le cas où l'entier est pair ou impair, calculer .
On admet sans démonstration le résultat suivant :
Théorème 1 Soit et deux suites de nombres réels non nuls telles que au voisinage de et la série est divergente. Alors :
Soit et deux suites de nombres réels strictement positifs telles que : et la série diverge.
En utilisant le résultat admis dans l'énoncé, montrer que la série est divergente et que :
Montrer que la variable aléatoire admet une espérance finie et que son espérance est égale à :
[indication : on pourra exprimer la variable à l'aide de fonctions indicatrices associées aux événements .]
En déduire l'équivalent :
Dans une urne contenant boules blanches et boules noires, on procède à des tirages de boules sans remise, jusqu'à vider complètement l'urne. Les tirages sont équiprobables à chaque pioche.
Pour tout entier entre 1 et , on dit que l'entier est un indice d'égalité si dans l'expérience de pioche précédemment décrite, il reste autant de boules noires que de boules blanches dans l'urne après avoir pioché les premières boules sans remise. On remarque que l'entier est toujours un indice d'égalité.
On note , la variable aléatoire comptant le nombre aléatoire d'indices d'égalité entre 1 et .
En utilisant par exemple les événements : « l'entier i est un indice d'égalité », montrer que la variable admet une espérance finie égale à :
En déduire l'équivalent :

Fin du problème

  1. Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de la licence
    Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France.
    Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts.
Mines Mathématiques 2 PSI 2024 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa