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Mines Mathématiques 2 PSI 2025

Modèle SIR pour la propagation d'épidémies et séries de Dirichlet

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Algèbre linéaireSuites et séries de fonctionsEquations différentiellesProbabilités finies, discrètes et dénombrementCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
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2025
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PSI
Matière
Maths
Mines PSIMines 2025PSI MathsMaths 2025
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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS et CHAUSSÉES, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2025

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : heures

L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Notations

Soit un intervalle de .
  • L'ensemble avec désigne l'ensemble des fonctions dont les dérivées jusqu'à l'ordre existent et telles que soit continue sur .
  • L'ensemble désigne l'ensemble des fonctions indéfiniment dérivables sur .
  • Si une fonction bornée, on note

Introduction

Dans ce sujet, on étudie l'équation différentielle non linéaire
dont l'inconnue est une fonction . On montrera en Partie V que cette équation peut-être utilisée pour caractériser la propagation d'une épidémie non létale au sein d'une population d'individus.
On admet dans tout le sujet que le problème de Cauchy
admet une unique solution , que l'on va chercher à approcher de plusieurs manières.

Partie I: Linéarisation de

Pour approcher la solution du problème de Cauchy , on propose dans un premier temps de linéariser l'équation ( ). Comme est continue et vérifie , on remarque au voisinage de 0 que
On propose donc d'approcher par la solution de l'équation différentielle linéaire
dont l'inconnue est une fonction . On introduit de même le problème de Cauchy associé
Justifier qu'il existe une unique solution au problème de Cauchy ( ), donner son expression et dresser son tableau de variation.
Montrer qu'il existe une unique solution constante de l'équation ( ), notée , et vérifier que la solution trouvée en question 1 satisfait
On admet à présent dans toute la suite du sujet que les propriétés observées sur , la solution de , restent vérifiées sur , la solution de . En particulier, on admet que:
  • est décroissante sur ,
  • , où .
3 - Montrer que est une solution constante de ( ), puis que ( ) admet exactement deux solutions constantes notées et telles que . En déduire la valeur de en fonction de et .

Partie II: Séries de Dirichlet

On propose dans cette partie d'étudier des séries de fonctions particulières appelées séries de Dirichlet.
Définition 1 Une série de fonctions est dite de Dirichlet si
où la suite de réels vérifie, pour une valeur donnée ,
et la suite de réels est strictement croissante et vérifie
Pour tout , on définit alors la quantité .
Montrer que pour tout , les réels sont bien définis.
Montrer que toute série de Dirichlet converge uniformément sur . On note alors sa somme. Justifier que est continue sur .
Exprimer et en fonction de et .
Soit . Montrer que et donner une expression de . Exprimer ensuite en fonction de .
Montrer que si pour tout alors pour tout .

Partie III: Relations sur les coefficients de la série de Dirichlet

Revenons au problème de Cauchy ( ), et à l'étude de sa solution . Supposons dorénavant que est la somme d'une série de Dirichlet, c'est-à-dire que
où les suites et vérifient les propriétés mentionnées en Définition 1 . On introduit également la fonction définie par
Exprimer et en fonction de la constante introduite en partie I.
En utilisant l'équation ( ) satisfaite par , calculer .
Montrer que pour tout ,
où les coefficients sont définis par
Soit . En utilisant l'équation ( ), satisfaite par , exhiber une relation de récurrence liant et .

Partie IV: Approximation de la solution

Soit . Pour approcher la solution de ( ), on propose dans cette partie de tronquer toutes les sommes en s'arrêtant au terme de rang . Les résultats de la Partie III permettent d'obtenir une approximation des quantités définies pour tout par
On introduit également la fonction tronquée définie par
En se donnant les valeurs de la suite , on veut dans cette partie calculer les valeurs des coefficients pour de 1 à . On utilisera les notations
Montrer que
et déduire que converge uniformément vers sur . Proposer ensuite un intervalle où la majoration de serait plus fine.
Montrer que où est une matrice que l'on explicitera.
Prouver que le système admet une unique solution .

Partie V : Modèle de propagation d'épidémie SIR

Pour modéliser la propagation d'une épidémie non létale au sein d'une population d'individus, on peut utiliser le modèle de propagation d'épidémie appelé SIR. Dans ce modèle, la population est séparée en trois groupes :
  • Le groupe des personnes susceptibles, n'ayant pas attrapé la maladie, est noté et sa proportion au cours du temps est représentée par la fonction .
  • Le groupe des personnes infectées par la maladie est noté et sa proportion au cours du temps est représentée par la fonction .
  • Le groupe des personnes ayant contracté la maladie puis récupéré est noté . On suppose qu'un individu ne peut attraper la maladie qu'une seule fois dans sa vie. Une fois dans le groupe des individus récupérés, il y reste définitivement et ne redevient jamais susceptible. La proportion du groupe au cours du temps est représentée par la fonction .
On a ainsi la relation
Dans un modèle de propagation d'épidémie SIR, ces trois fonctions sont de plus des solutions d'un problème de Cauchy associé à un système d'équations différentielles non linéaires
où sont les conditions initiales. On admet dans la suite le résultat suivant :
Théorème 1 Pour ( ) fixés, le problème de Cauchy ( ) admet une unique solution . De plus, si et sont les solutions associées aux conditions initiales et , alors
Supposons que . Donner l'expression du triplet solution ( ) du système .
Montrer que si alors la fonction du triplet solution de ne s'annule jamais, et en déduire que est strictement positive.
Supposons que . Montrer que la fonction du triplet solution de vérifie la relation
On se place à partir de maintenant dans le cas où et . On introduit de plus la fonction définie par
Montrer que est solution du problème de Cauchy .
Pour approcher la fonction , on introduit la fonction définie par
Montrer que converge uniformément vers sur quand et que

Partie VI : Modèle probabiliste

Toutes les variables aléatoires que l'on sera amené à considérer dans la suite sont définies sur un espace probabilisé ( ). On rappelle que ( ) est nul si .
Pour toute suite de variables aléatoires , on note :
Dans tout ce qui suit, on considère une population de individus, et l'on fixe . On note
On considère maintenant un autre modèle de propagation de la même épidémie non létale pendant plusieurs jours au sein de la population .
Chaque matin, la population se répartit en trois classes distinctes : les personnes susceptibles (jamais infectées), les personnes infectées, et les personnes rétablies (et désormais immunisées). On note et les effectifs des trois classes au matin du -ième jour et l'on convient que
de sorte que l'on ne soit pas dans un cas trivial où l'épidémie est finie ou ne peut pas commencer.
Lorsqu'au matin du -ième jour, , l'évolution quotidienne est la suivante :
  • dans la journée, chacune des personnes saines rencontre, indépendamment des autres, personnes au hasard parmi les personnes de la population totale. Dès que l'une au moins des rencontres se fait avec une personne infectée, la personne saine en question devient infectée le lendemain matin;
  • dans le même temps, chaque personne infectée peut guérir à la fin de la journée avec une probabilité fixée dans .
    Soit . Conditionnellement à l'événement , quelle est la probabilité, notée , pour une personne susceptible d'être infectée lors de cette journée?
    Soit une variable aléatoire à valeurs dans , montrer que :
Justifier que pour tout , les variables aléatoires et ainsi que les variables aléatoires et , ont une espérance finie.
Établir l'identité suivante:
25 - Établir l'identité suivante : pour , pour tout ,
Montrer que
puis en déduire l'équation satisfaite par .

Fin du problème

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