CONCOURS D'ADMISSION 2008

Dans tout ce problème, les vecteurs sont surmontés d'un chapeau s'ils sont unitaires, d'une flèche dans le cas contraire. Les nombres complexes sont soulignés : .
Lorsqu'une bille sphérique roule sur une piste de forme circulaire suspendue en un point, le couplage entre la bille et la piste engendre un mouvement spectaculaire, objet de ce problème.

Une sphère homogène, de centre , de rayon et de masse , est mobile dans un plan vertical en restant en contact avec un rail , de masse , que l'on modélise par une portion de cercle de centre et de rayon , dont l'axe de symétrie est vertical.

Le moment d'inertie de la sphère par rapport à un axe passant par est . Le référentiel fixe orthonormé direct ( ) où est vertical dirigé vers le bas est supposé galiléen (voir Figure 1). On pourra également utiliser les vecteurs mobiles polaires unitaires et représentés sur la Figure 1. Le mouvement de la sphère est repéré par deux paramètres : l'angle que fait avec et l'angle de rotation autour de l'axe horizontal qui porte . À chaque instant , on appelle le point de contact de la sphère avec le rail. On note le point du rail situé sur son axe de symétrie. L'accélération de la pesanteur est .

La sphère roule sans glisser sur le rail fixe. Initialement, elle est au repos et fait un angle avec . Le système comprend deux degrés de liberté cinématiques, et .
- Écrire la condition de roulement sans glissement de la sphère sur le rail sous la forme d'une relation linéaire liant et . Contrôler la pertinence de la relation obtenue, d'une part en comparant les signes respectifs de et de , et d'autre part en analysant la situation lorsque .
- Déterminer l'expression de l'énergie mécanique totale du système. En déduire l'équation différentielle vérifiée par la fonction .
- Déterminer la période des petites oscillations.
On considère deux rails circulaires de même rayon . Sur chaque rail, on place à l'instant initial une sphère de rayon , de masse en des points repérés par le même angle (situation déjà représentée sur la Figure 1). Les sphères sont lâchées au même instant, avec une vitesse initiale nulle. Les deux rails sont de nature différente, de sorte que la première sphère roule sans glisser et que la seconde glisse sans rouler.
-4 - En utilisant des arguments énergétiques qualitatifs, déterminer quelle est la sphère qui arrive la première au point le plus bas . Le résultat est-il modifié si les masses des sphères sont différentes ?
- Établir une expression intégrale du temps mis par la sphère la plus rapide pour atteindre le point . Comment peut-on, sans calcul supplémentaire, obtenir le temps mis par la sphère la plus lente pour atteindre ce point? Déterminer le rapport .

Les points et sont attachés en par des fils inextensibles de masse négligeable, ce qui permet au rail d'osciller autour de l'axe horizontal passant par . La position du milieu du rail est repérée par l'angle représenté sur la Figure 2. Le centre de masse du rail se trouve à chaque instant sur la droite à une distance de . On note le moment d'inertie du rail par rapport à son axe de rotation. On appelle respectivement et les composantes de la force de réaction du rail sur la sphère au point selon et . La sphère roule sans glisser sur le rail, qui est maintenant en forme de quart de cercle, les grandeurs et sont les mêmes que celles utilisées dans la partie I.

- Écrire la condition de roulement sans glissement reliant et .
- Exprimer dans le moment cinétique de la sphère en et en déduire l'expression du moment cinétique de la sphère en .
- Exprimer dans le moment cinétique du rail en .
- Exprimer dans , l'énergie cinétique de la sphère, l'énergie cinétique du rail et enfin l'énergie cinétique de l'ensemble rail-sphère.
- Appliquer le théorème du moment cinétique en à l'ensemble rail-sphère et en déduire une équation différentielle liant les fonctions et .
- Appliquer le théorème du moment cinétique en à la sphère seule et en déduire l'expression de en fonction de , puis, en utilisant le résultat de la question 6, en fonction de et .
12 - Appliquer le théorème du moment cinétique en au rail seul et en déduire la relation différentielle

On exprimera la constante en fonction de et et la constante en fonction de et
- Déduire des résultats précédents la relation

On exprimera la constante en fonction de et . Vérifier que l'équation (2) est en accord avec le résultat de la question 2 .
14-Retrouvez les équations (1) et (2) à partir de considérations énergétiques. Démontrer que .

15-Que traduit l'absence de termes en et dans les équations (1) et (2)?

On considère dans cette sous-partie que les angles et sont l'un et l'autre voisins de zéro, ce qui permet de linéariser les équations (1) et (2). On pose et . On cherche les solutions du système linéarisé sous la forme

où et sont deux nombres complexes, .
On appelle pulsation propre du système tout réel positif qui permet d'obtenir des solutions non nulles du système linéarisé sous la forme (3).
- Déterminer les pulsations propres et du système ( ) en fonction de et .
On considère dorénavant que les conditions initiales du système sont

On réalise le montage expérimental de la Figure 2 avec les paramètres physiques suivants

On dispose d'un système de mesure qui permet d'enregistrer la valeur de l'angle en fonction du temps. Pour des conditions initiales du type (4), avec suffisamment faible, on obtient l'enregistrement représenté sur la Figure 3.

18 - Déterminer à partir de la Figure 3, une valeur approximative des pulsations propres du système expérimental. Cette estimation est-elle compatible avec les valeurs théoriques?

19 - On considère le montage électrique de la Figure 4. Trouver les équations différentielles vérifiées par les charges et des deux condensateurs.

20 - Quel est le lien entre ce montage et l'oscillateur mécanique de la partie II. Relier les constantes et de la partie II aux caractéristiques des composants du montage de la Figure 4.