Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Impulsion mécanique et mesures optiques

Le sujet comporte quatre parties I, II, III et IV qui, bien que liées les unes aux autres, peuvent être abordées de manière totalement indépendante sous réserve d'admettre éventuellement les résultats affirmés par l'énoncé. Dans les questions posées, exprimer signifie donner une expression littérale et calculer signifie donner une valeur numérique; toutes les applications numériques seront réalisées avec seulement deux chiffres significatifs. Les vecteurs seront surmontés d'une flèche,

. Les grandeurs complexes seront soulignées,

, sauf i , tel que

.
Dans le langage général, le sens usuel du mot impulsion désigne l'élan initial qu'on peut donner à une particule élémentaire ou à un projectile macroscopique qui poursuit ensuite son mouvement. Le même mot a un sens plus spécifique en physique ; l'impulsion, d'abord définie en mécanique classique comme la quantité de mouvement dans de très nombreux cas, se retrouve en mécanique quantique comme en mécanique relativiste avec un sens étendu.
Nous admettrons dans tout ce qui suit que l'impulsion

d'une particule ponctuelle libre (non engagée dans une liaison), de masse

et d'énergie

est, dans le cadre général de la théorie d'Einstein (1905), donnée par la relation dite du triangle relativiste :

où

est la célérité de la lumière dans le vide; par ailleurs, cette même impulsion

est, dans la description ondulatoire des particules, associée à la longueur d'onde

de l'onde associée à la particule par la relation de De Broglie (1924) :

où

est la constante de Planck (19oo).

I Impulsion de particules élémentaires

1. Quel est, à votre avis, la nature du «triangle relativiste» évoqué par la relation (1)?

Représenter celui-ci.
Quelle est l'unité usuelle, dans le système international, de l'impulsion

? du produit

?
L'énergie des systèmes macroscopiques s'exprime usuellement en joule (J) ou en kilowatt-heure (

). Dans toute la suite de la partie

, l'énergie des particules élémentaires sera donnée en MeV (méga-électron volt) où

. Les masses des particules seront données en

et leurs impulsions en

. Par exemple la masse de l'électron vaut

et celle du proton vaut

(ou, si on préfère,

1. On appelle énergie de repos d'une particule la valeur de l'énergie de celle-ci lorsque son impulsion est nulle. Exprimer pour un proton et calculer sa valeur numérique.
  Pour une particule en mouvement, le supplément d'énergie porte le nom d'énergie cinétique.
1. On s'intéresse d'abord aux particules vérifiant la relation (1) dans le cas de la limite classique, lorsque . En vous limitant au premier ordre non nul, donner dans ce cas une expression de en fonction de l'impulsion et de la masse de la particule. Quelle est alors la relation entre l'impulsion et la vitesse d'une particule?
  Quelle vitesse maximale peut-on donner à un proton pour rester dans la limite classique telle que ? Même question pour un électron.

Si on ne se limite pas aux faibles vitesses, on peut montrer, et on l'admettra, la relation générale entre la masse

, la vitesse

de norme

, l'impulsion

de la particule et la célérité

de la lumière :

1. En déduire l'expression générale de l'énergie totale d'une particule de masse .
1. Un photon est une particule associée à une onde électromagnétique dans le vide et dont la vitesse est donc égale à . Que peut-on en déduire, pour sa masse, de la relation établie à la question précédente?
  Déduire de (2) l'expression de l'énergie d'un photon en fonction de la longueur d'onde puis de la fréquence de l'onde. Faire l'application numérique dans les cas des ondes lumineuses des domaines bleu ( ) puis rouge ( ). On pourra exploiter le fait que et on exprimera en eV.

II Le spectre d'émission des atomes d'hydrogène

On s'intéresse ici à l'émission d'un photon, d'énergie

et d'impulsion

, par un atome initialement au repos, de masse

. Au cours de cette émission, l'atome passe de l'énergie initiale

à l'énergie finale

et il recule avec, dans le cadre d'une description classique, l'impulsion

et l'énergie cinétique

(figure 1) de sorte que l'impulsion totale du système complet reste nulle après l'émission, comme elle l'était avant émission. La direction de l'impulsion

du photon est donc opposée à la vitesse

de l'atome qui recule.

Figure 1 - Émission d'un photon par un atome au repos

1. On admet que l'énergie totale du système après émission est identique à celle de l'atome au repos avant l'émission. En déduire la relation et exprimer en fonction de et .
1. Dans le cas de l'atome d'hydrogène, est de l'ordre de quelques électrons-volts. En déduire qu'on peut négliger l'énergie de recul de l'atome et conclure quant à la relation entre et l'énergie du photon émis.
  La résolution de l'équation de Schrödinger (1922) dans le cas de l'atome d'hydrogène montre que les valeurs de l'énergie de l'atome sont quantifiées en fonction du nombre quantique principal et de la grandeur selon la relation : . Cette expression est confirmée par l'étude des ondes lumineuses, de longueur d'onde , émises par un ensemble d'atomes d'hydrogène qui rayonnent par désexcitation depuis un état initial quantifié par vers l'état final quantifié par .
  . Lorsque l'état final est , montrer qu'il existe une telle que et donner une estimation de . Quel est le domaine spectral correspondant à ces raies d'émission? Lorsque l'état final est , montrer qu'il existe une que l'on estimera, telle que . Quel est le domaine spectral correspondant à ces raies d'émission?
  Les raies d'émission de l'hydrogène dans le domaine visible (les raies de Balmer) ont été étudiées à partir de 1853 par $Å$ NGSTR M ; à quelles valeurs de correspondent-elles?

C'est la connaissance précise de ce spectre qui a permis l'étude de la quantification de l'énergie des atomes donc l'introduction de la mécanique quantique au début de XX

siècle. Cette connaissance a été par la suite améliorée au moyen de la spectrométrie interférentielle.

III Mesures interférométriques de longueurs d'onde

En 1907, Michelson est le premier américain à recevoir le prix Nobel de physique pour ses instruments optiques de précision et les mesures spectroscopiques et métrologiques réalisées au moyen de ceux-ci. En particulier, il publiera en 1892 des mesures relatives aux spectres d'émission de plusieurs sources, obtenues par spectroscopie interférentielle, et notamment pour les raies

(rouge) et

(bleue) d'émission par les atomes d'hydrogène.

III.A L'interféromètre de Michelson

Le schéma du montage utilisé par Michelson est proposé figure 2. Le dispositif monochromateur, formé d'un prisme de verre dispersif et d'une fente étroite, éclaire l'appareil en sélectionnant une raie quasi-monochromatique de longueur d'onde

, appartenant au domaine visible. L'observation est réalisée au moyen d'un oculaire afocal, réglé à l'infini : il donne d'un objet situé à grande distance une image également à grande distance, mais agrandie.

Figure 2 - Dispositif de mesure en spectroscopie interférentielle

1. L'interféromètre comporte deux lames de verre et , parallèles, de même épaisseur et de même indice optique , inclinées d'un angle relativement à l'axe ( ) normal au miroir fixe. La lame est munie d'une couche semi-réfléchissante sur une seule de ses faces; laquelle? Justifier, en vous appuyant sur un schéma.
1. Après réglage des vis et les miroirs fixe et mobile sont rendus rigoureusement perpendiculaires ; l'axe optique ( ) de l'oculaire est alors confondu avec la normale au miroir mobile et l'opérateur observe, au moyen de cet oculaire réglé à l'infini, des franges d'interférence. Quelle est la forme de ces franges?
  Peut-on encore les observer si l'oculaire est déréglé?
1. Tout en observant les franges, l'observateur peut actionner la vis micrométrique et déplacer le miroir mobile dans le plan , le long de l'axe ( ). Relier le nombre de franges sombres qui défilent au centre du champ et le décalage du miroir mobile.
1. Exprimer, au moyen d'un schéma approprié, la différence de marche observée à l'infini dans une direction donnée, en fonction de l'écart séparant les deux miroirs.
  Le déplacement maximal de la vis micrométrique à partir du contact optique est noté . Déterminer, après ce déplacement, l'angle qui sépare le centre de la figure de la première frange de même nature.
1. Dans le cas d'une des raies de l'hydrogène atomique, on observe le défilement de franges pour un décalage . S'agit-il de la raie ou ?
  Avec quelle précision relative mesure-t-on sa longueur d'onde ?
  Que vaut alors ? Commenter.

III.B Cohérence spectrale d'une source

Une source de lumière éclaire avec la même intensité

les deux voies d'un interféromètre; l'observation est réalisée en un point où la différence de marche est

. Dans le cas où la source est rigoureusement monochromatique, de longueur d'onde

, exprimer l'intensité

en fonction de

. Définir et calculer le facteur de contraste

des franges.
Certaines sources lumineuses sont en fait bichromatiques : elles émettent deux radiations de longueurs d'onde très proches

et on pose alors

en admettant toujours

1. Pour certaines sources bichromatiques les deux radiations émises sont de même intensité; c'est le cas des lampes à vapeur de sodium, étudiées notamment par Michelson dans les conditions décrites en III.A. Expliciter l'intensité observée en fonction de , de la différence de marche , de et de .
  Exprimer le facteur de contraste des franges et montrer comment il permet la mesure de .
1. D'autres sources, comme celles émettant la raie de l'hydrogène, peuvent être écrites comme bichromatiques mais les intensités et émises aux longueurs d'onde et sont différentes. Pour quelle(s) valeur(s) de le facteur de contraste des franges est-il minimal? Quelle est cette valeur minimale?
  Dans le cas de la raie double , l'écart est de l'ordre de . Est-il possible de le mettre en évidence avec le montage proposé ci-dessus?

III.C Les tubes à hydrogène

Pour l'étude du spectre d'émission de l'atome d'hydrogène, une première technique

, initiée dans les années 1930, a consisté à utiliser un tube

contenant de l'hydrogène moléculaire (dihydrogène, formule

) sous faible pression ( 150 mbar ) soumis à des décharges électriques de

haute tension entre deux électrodes

; l'observation se fait au travers d'une fenêtre de quartz

(cf. figure 3). Le spectre d'émission obtenu présente la superposition d'un fond quasicontinu et de raies bien identifiées, comme le montre la figure 4 tirée de l'article présentant la technique originelle.

Figure 3 - Illustration du dispositif : reproduction de la figure 1 de l'article originel

. Quel est le rôle du circuit à circulation d'eau qui entoure le tube central?
Sur le spectre proposé en figure 4, quelle est l'unité de la graduation donnée en abscisse? Quelle est, à votre avis, l'origine du fond continu (essentiellement dans le proche ultraviolet) marqué en trait pointillé gris?

Figure 4 - Spectre d'émission du tube à hydrogène en échelle logarithmique

On préfère actuellement utiliser des lampes à décharge d'une constitution différente : il s'agit de tubes à décharge remplis de vapeur d'eau permettant l'obtention d'un spectre atomique sans bande continue. En présence des décharges à haute tension, ce type de lampe est le siège des réactions

1. Quelle propriété du spectre d'émission de la molécule hydroxyle HO est ici mise à profit?

Ces lampes contiennent une certaine proportion d'eau lourde, molécules HDO dans laquelle un des deux atomes d'hydrogène

est remplacé par un atome de deutérium

, dont le noyau est formé d'un proton et d'un neutron. Si on tient compte de la masse

du noyau atomique, on peut montrer que la longueur d'onde d'émission d'une des raies spectrales de l'hydrogène atomique vérifie la relation :

où

est la masse de l'électron et

la longueur d'onde idéale si

1. Les raies d'émission du deutérium sont-elles, par rapport à celle de l'hydrogène ordinaire, décalées vers le bleu ou vers le rouge?
  De quelle résolution spectrale (en nanomètre) faut-il disposer pour séparer les raies de l'hydrogène et celles du deutérium ?
  À partir d'une lecture de la courbe de la figure 4, faire l'application numérique dans le cas de la raie .

IV L'équation de Klein-Gordon

Lors du développement de la mécanique quantique (ou mécanique ondulatoire), l'onde de matière

a d'abord été considérée comme solution de l'équation de Schrödinger (4) :

ù

pour une particule de masse

repérée par sa positon

et soumise à l'interaction décrite par la fonction potentiel scalaire

. En 1926, Klein et Gordon en ont proposé une version modifiée qu'on écrira :

Dans la suite on s'intéressera exclusivement aux solutions de l'une ou l'autre équation, de la forme :

où

est une certaine constante complexe,

est l'une des coordonnées cartésiennes de

est l'énergie de la particule et

son impulsion.

1. L'état associé à cette fonction d'onde est-il stationnaire?

Dans quel sens le mouvement de la particule décrite par cette onde a-t-il lieu?
Exprimer les vitesses de phase

et de groupe

en fonction de

, de

et de sa dérivée.

1. Exprimer et dans le cas d'une particule vérifiant l'équation de Schrödinger dans un domaine où est constant. En déduire le caractère relativiste ou non du modèle associé à l'équation de Schrödinger.
1. Répondre aux mêmes questions dans le cas d'une particule vérifiant l'équation de KleinGordon (5).

On s'intéresse enfin à la résolution du problème physique suivant : la particule étudiée est libre (

) pour

et pourvue d'une énergie

, tandis que, dans l'intervalle

, elle est soumise à une interaction caractérisée par

(figure 5) et même

. Les solutions de l'équation (de Schrödinger ou de Klein-Gordon) seront donc écrites, pour

, sous les formes respectives :

où

sont deux constantes complexes.

Figure 5 - Barrière de potentiel

On se place d'abord dans le cas de l'équation de Schrödinger.

1. Quelle est la nature de l'onde dans le domaine ?

Quelles relations permettent de calculer

? On ne demande pas de les exprimer ici!
Quel phénomène physique peut-on mettre ainsi en évidence?
Quelle est l'interprétation physique de

?
On se place maintenant dans le cas de l'équation de Klein-Gordon.

1. Quelle est la nature de l'onde dans le domaine ? On notera qu'en introduisant , on a .
  Les mêmes relations que dans l'étude de la barrière de potentiel dans le cadre de l'équation de Schrödinger conduisent, pour l'onde de Klein-Gordon, à la relation (que l'on admettra) :

1. Déterminer la valeur maximale de . Commenter.

FIN DE L'ÉPREUVE

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1. D. Chalonge et Ny Tsi Zé, J. Phys. Radium, 1930