ÉCOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP) ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2012
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière MP
(Durée de l'épreuve: heures)L'usage de la calculatrice est autoriséSujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE II — MP.
L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura été amené à prendre.
Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.
PHYSIQUE DANS L'ATMOSPHÈRE
Ce problème traite de divers aspects de physique atmosphérique. Les quatre parties qui le constitue sont indépendantes et peuvent donc être traitées séparément. Les vecteurs sont surmontés d'un chapeau s'ils sont unitaires , ou d'une flèche dans le cas général. Un certain nombre de constantes numériques sont données en fin d'énoncé. Pour les applications numériques on utilisera 3 chiffres significatifs. Aucun pré-requis sur l'air humide n'est nécessaire pour traiter la partie I.
I. - Formation d'un brouillard
La teneur de l'atmosphère en vapeur d'eau est caractérisée par l'humidité spécifique notée qui est le rapport de la masse de vapeur d'eau à la masse d'air sec contenue dans un volume donné. Ce mélange d'air sec et de vapeur d'eau constituant l'atmosphère est appelé air humide, il sera supposé homogène dans tout ce problème. L'air humide, l'air sec et la vapeur d'eau seront assimilés à des gaz parfaits. La pression totale de l'atmosphère est donc la somme de la pression de la vapeur d'eau, notée , et de celle de l'air sec, notée . On notera par ailleurs et les masses molaires respectives de l'eau et de l'air sec. Les valeurs numériques correspondantes sont rappelées en fin de problème. On parle de brouillard lorsqu'une partie de la vapeur d'eau se condense en eau liquide. - Rappeler la définition de la pression de vapeur saturante que l'on notera . Pourquoi cette grandeur dépend elle de la température?
2 - Déterminer, lorsque , l'expression de l'humidité spécifique en fonction des rapports et . En déduire que si on peut écrire .
Un certain nombre de mesures effectuées à la pression atmosphérique ont permis de dresser le tableau suivant :
0
5
10
15
20
25
30
- Tracer la courbe issue des mesures. Quelle est la région du plan qui correspond à un brouillard ?
On mélange adiabatiquement 2 masses d'air humide de température respectives et , contenant des masses d'air sec respectives et et d'humidité spécifique et . Durant tout le mélange, on suppose que la pression totale reste constante égale à . On suppose enfin qu'il n'y a pas de condensation de la vapeur d'eau. On supposera que sur le domaine considéré, la capacité thermique massique de l'air humide ne dépend ni de la température ni de l'humidité spécifique. Lorsque le processus de mélange adiabatique réversible est terminé le volume considéré possède une humidité spécifique et une température . - Exprimer en fonction de et .
5-Montrer que la variation d'enthalpie durant le mélange est nulle. En déduire l'expression de la température en fonction de et en remarquant que et . - Le diagramme dans lequel on représente l'évolution de l'humidité spécifique en fonction de la température est appelé diagramme de Carrier. Représenter dans un diagramme de Carrier les points et associés au différents états du système étudié dans les questions 4 et 5 avant et après le mélange. - Une brise souffle le soir de la terre vers la mer qui permet le mélange adiabatique d'un air saturé d'humidité à avec l'air saturé d'humidité à qui surplombe la mer. Montrer qu'il y a formation d'un brouillard, on pourra procéder de façon géométrique.
On considère à présent qu'une partie du mélange des deux masses d'air s'est condensée sous forme d'eau liquide. On note la masse de ce condensat liquide uniformément réparti dans l'air et la chaleur latente massique de vaporisation de l'eau supposée constante. Pour simplifier les calculs on supposera que . - Lorsque le processus de mélange est achevé, déterminer la relation existant entre la température finale du mélange et son humidité spécifique faisant intervenir les paramètres et . - En interpolant linéairement sur l'intervalle concerné, déterminer les valeurs de et de à partir de la relation obtenue à la question 8 .
FIN DE LA PARTIE I
II. - Formation d'un nuage
On considère qu'un nuage se forme dans une région de l'atmosphère lorsque la pression partielle de l'air présent dans cette région devient supérieure à la pression de vapeur saturante . L'air est toujours assimilé à un gaz parfait.
II.A. - Modèle d'atmosphère isentropique
On considère une région du sol assimilable à un plan. On note l'altitude de référence pour laquelle la pression est . L'atmosphère est une couche d'air située dans l'espace . On supposera que l'accélération de la pesanteur est constante dans cette couche et que la température de ce gaz est une fonction de l'altitude. L'hypothèse isentropique consiste à supposer que le passage d'une couche à l'autre de l'atmosphère est équivalent à une transformation adiabatique et réversible. - En faisant l'hypothèse que l'atmosphère est en équilibre hydrostatique montrer que
où l'on déterminera la constante en fonction de , de la constante des gaz parfaits et de la masse molaire de l'air notée .
11- En utilisant la loi de Laplace des gaz parfaits cste où est le rapport des capacités thermiques molaires à pression et à volume constant, exprimer le gradient adiabatique de température en fonction du rapport . - En supposant que ne dépend pas de , déterminer le profil de température d'une atmosphère isentropique et en déduire que
où l'on déterminera en fonction de . Quel est le signe de ?
II.B. - Possibilité de formation d'un nuage
La relation de Clapeyron permet de relier la pression de vapeur saturante , la température , la chaleur latente massique de vaporisation de l'eau , et les volumes massiques et de l'eau et de la vapeur d'eau. Elle s'écrit
13-En négligeant l'un des deux volumes massiques devant l'autre et en supposant que est indépendant de la température, montrer que vérifie l'équation différentielle
où l'on exprimera en fonction de , et masse molaire de la vapeur d'eau toujours assimilée à un gaz parfait. En déduire l'expression de en fonction de et . - En étudiant la croissance comparée des fonctions et pour une atmosphère isentropique, démontrer qu'il existe toujours une température en deçà de laquelle on assiste à la formation de nuages.
FIN DE LA PARTIE II
III. - De l'électricité dans l'air
La terre est supposée sphérique de rayon . Au voisinage de sa surface on mesure un champ électrique . Par beau temps, ce champ est homogène et uniforme dirigé selon la normale descendante à la surface de la terre comme représenté ci-contre. Il est relativement stable et l'ordre de grandeur de ses variations temporelles est la journée. Pour les applications numériques au niveau du sol on prendra . On suppose que la terre est un bon conducteur et
Figure 1 - Structure géométrique du champ électrique terrestre
on note la densité superficielle de charges à sa surface. - Donner la relation entre et . En déduire la valeur numérique de .
16 - À partir du résultat de la question précédente, déterminer la valeur numérique de la charge totale de la Terre. En supposant que la lune possède la même charge, calculer le rapport des modules des forces électrostatiques et gravitationnelles entre ces deux corps. Qu'en concluez-vous?
La haute atmosphère est alimentée en charges en permanence par divers processus que nous n'étudierons pas ici. L'air constituant l'atmosphère étant conducteur, il peut exister un courant électrique dirigé de la haute atmosphère vers la terre. On note la densité volumique de ce courant et la conductivité électrique de l'air. - Déterminer l'expression de en faisant l'hypothèse que l'intensité du champ est uniforme dans toute l'atmosphère. En déduire l'intensité du courant électrique circulant dans l'atmosphère sous cette hypothèse.
On peut associer le courant étudié à la question 17 à une différence de potentiel que l'on peut mesurer expérimentalement et dont la valeur numérique moyenne est . Pour tenter d'expliquer les différents phénomènes électriques dont l'atmosphère est le siège, un premier modèle consiste à faire l'hypothèse que la surface de la terre et la haute atmosphère forment les armatures d'un condensateur sphérique, que nous appellerons le condensateur terrestre. On note la capacité de ce condensateur et on pourra éventuellement utiliser sa résistance de fuite due au fait que l'air conduit le courant avec la conductivité . Pour fixer les idées on supposera que la haute atmosphère et la surface de la terre sont uniformément séparées d'une distance . - Montrer que cette valeur de est incompatible avec l'hypothèse d'un champ uniforme sur toute l'épaisseur de l'atmosphère.
19-Déterminer l'expression de la différence de potentiel aux bornes du condensateur terrestre en fonction de et ainsi que celle du courant circulant dans l'atmosphère en fonction de et . En déduire l'expression de la constante de temps associée au condensateur terrestre en fonction de et . Calculer sa valeur numérique et commenter le résultat obtenu.
FIN DE LA PARTIE III
IV. - Mesures dans l'atmosphère
Le principe de la technique de mesure par Lidar (Light Detection and Ranging) mise en œuvre au laboratoire de Purple Crow (Purple Crow Lidar - PCL) dans la province de l'Ontario au Canada est d'utiliser un laser de longueur d'onde qui émet des impulsions de profil temporel rectangulaire de durée et d'énergie , avec une fréquence . Ce laser, situé au sol en un point , pointe vers le haut suivant la direction verticale que l'on notera . Une fraction de la lumière est rétrodiffusée par l'atmosphère puis recueillie au sol par un télescope situé en un point à proximité immédiate du laser : la distance au sol entre le laser et le télescope est notée .
La mesure de l'intensité recueillie sur un récepteur au foyer du télescope doit permettre d'accéder à certains paramètres atmosphériques, notamment la concentration de certains aérosols contenus dans l'atmosphère. Le faisceau du laser occupe uniformément un cône de sommet et d'angle au sommet rad. Le télescope est constitué d'un miroir de diamètre et de surface . Un filtre de bande passante , assure que la mesure du récepteur est effectivement faite au voisinage de . - Expliquer pourquoi ce Lidar sera sensible aux concentrations en gaz et en aérosols de petite taille présents dans l'atmosphère. Donner une estimation de la taille maximale des aérosols concernés.
Dans la suite nous supposerons qu'il n'y a qu'une seule sorte de particule diffusante en jeu, caractérisée par sa densité volumique et par sa section efficace . Cette dernière, exprimée en , peut être considérée comme une surface transverse fictive que présente la particule soumise à un rayonnement. Ainsi, une particule de section efficace , exposée à une onde de puissance surfacique de longueur d'onde , absorbe une puissance .
On admettra que si l'on émet, depuis l'altitude , un faisceau d'intensité et si on appelle le coefficient d'extinction atmosphérique à l'altitude pour une longueur d'onde alors l'intensité reçue à l'altitude s'écrit
- On appelle le coefficient de transmission atmosphérique en intensité entre le point et un point d'altitude situé sur le trajet du faisceau laser et le même coefficient mais sur le trajet aller-retour. Déterminer la relation entre les fonctions et puis celle entre et . - Soit la surface de la section droite d'atmosphère illuminée par le faisceau à l'altitude . Exprimer en fonction de et de . En déduire la puissance par unité de surface reçue par l'atmosphère pendant la durée d'une impulsion du laser à l'altitude , en fonction de et . - En choisissant une origine des dates au début d'une impulsion laser, déterminer l'épaisseur de la zone de l'atmosphère pouvant renvoyer un signal capté par le télescope à la date . On exprimera en fonction de et de la célérité de la lumière . Calculer la valeur numérique de et commenter la valeur obtenue compte tenu des distances explorées de l'atmosphère (de l'ordre de plusieurs dizaines de kilomètres). En déduire que l'on pourra dans la suite définir une relation simple entre la date de réception d'un signal et l'altitude de la diffusion.
Dans la suite, les fonctions dépendant de l'instant de réception seront considérées comme des fonctions dépendant de , altitude active de l'atmosphère. — On considère un point situé sur l'axe du télescope et illuminé par le laser et l'on suppose qu'une particule située en ce point se comporte comme une source isotrope. Exprimer la puissance reçue par le télescope en fonction de la puissance totale diffusée par cette particule et des paramètres utiles du problème.
En fait la particule diffusante se comporte comme un dipôle oscillant qui possède des directions privilégiées. On peut globalement montrer que dans la situation d'étude, la puissance reçue par le télescope est amplifiée d'un facteur . On suppose que la surface d'ouverture du télescope (de diamètre ) est centrée en et orthogonale à l'axe . Ce dernier, parallèle à , est donc l'axe optique du télescope. La zone de visibilité du télescope est un cône de sommet , d'axe et d'angle au sommet . - Expliquer qualitativement pourquoi , où est une constante liée à la géométrie du télescope, voisine de l'unité et que l'on ne demande pas d'expliciter. Calculer avec , on conservera ces valeurs dans la suite du problème. Comment évoluerait si l'on prenait en compte la taille du détecteur placé au foyer du télescope ?
On note l'altitude minimale telle qu'une particule située dans la zone de visibilité du télescope puisse diffuser le faisceau laser et l'altitude telle que toutes les particules de la zone de visibilité du télescope située plus haut que puissent diffuser le faisceau laser. - En s'aidant d'une figure en coupe des cônes respectifs associés au laser et au télescope, déterminer l'expression de et de en fonction de et . Déterminer la valeur maximale que l'on peut affecter à pour être sûr de pouvoir sonder la totalité de la zone visible de l'atmosphère au delà de l'altitude . On supposera par la suite que les deux instruments sont placés de sorte que les altitudes étudiées soient supérieures à . - Montrer qu'à l'issue de chaque impulsion, la puissance reçue par le télescope peut s'écrire
où est une fonction de et que l'on explicitera. Cette relation est appelée équation du Lidar .
28 - La puissance étant très faible, le détecteur est un intégrateur qui donne comme réponse l'énergie captée pendant une durée petite par rapport à la durée de l'aller retour du signal mais grande devant la durée de l'impulsion. Montrer que la conséquence de cette méthode de détection est de définir une résolution spatiale liée au détecteur. Calculer pour une durée d'intégration .
Des mesures indépendantes ont permis de recueillir, pour un certain type d'aérosol, la densité volumique en deux points, bas et haut, de l'atmosphère. Les résultats sont présentés dans le tableau ci-dessous
20
80
Pour toute la suite du problème on considérera que le facteur d'atténuation atmosphérique est indépendant de et de et on prendra ; La section efficace de diffusion de l'aérosol considéré est et la durée d'intégration est . Enfin, on considérera que .
29 - Calculer les énergies reçues par le récepteur et pour les deux points haut et bas mesurés. Sachant que l'énergie d'un photon de fréquence s'écrit , à combien de photon(s) cela correspond-il ? Que pensez vous de ces valeurs ?
30 - On répète cette intégration à la fréquence de 20 Hz dans les mêmes conditions durant 364 minutes, combien de photons aura-t-on alors recueilli dans chaque cas sur le détecteur? Le comptage de photons est une opération statistique comportant une incertitude statistique, ou bruit statistique, égal à . En déduire l'incertitude relative sur la mesure du nombre de photons dans les deux cas.
31 - Le laser permet d'émettre plusieurs longueurs d'ondes. Montrer, à une altitude donnée, ce que peut apporter la possibilité d'avoir plusieurs valeurs de puissance instantanée correspondant à plusieurs longueurs d'onde .
FIN DE LA PARTIE IV
Données numériques
Masse molaire de la vapeur d'eau :
Masse molaire de l'air
Chaleur latente massique de vaporisation de l'eau :
Capacité thermique massique de l'air humide :
Conductivité électrique moyenne de l'air :
Permittivité électrique du vide :
Rayon terrestre :
Masse de la terre :
Masse de la lune :
Constante de la gravitation de Newton :
Constante de Planck:
Célérité de la lumière dans les milieux considérés :
FIN DE L'ÉPREUVE
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