Durée de l'épreuve : heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
PHYSIQUE II - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
La capacité thermique des gaz
La capacité thermique des gaz est une grandeur thermodynamique assez facile à mesurer expérimentalement. Elle a joué un grand rôle dans la compréhension de la nature microscopique des gaz et de la matière en général. Elle a également été un point de questionnement fondamental au moment de la construction de la physique quantique. Dans cette épreuve, on se propose d'expliquer à l'aide de différents modèles théoriques les valeurs mesurées de la capacité thermique de différents gaz parfaits diatomiques à différentes températures.
Hormis le nombre tel que , les nombres complexes sont soulignés : . Les vecteurs seront traditionnellement surmontés d'une flèche, par exemple pour une vitesse; sauf s'ils sont unitaires et seront alors surmontés d'un chapeau, par exemple tel que .
I. - De la molécule à l'oscillateur harmonique
On considère une molécule diatomique dont les deux atomes et sont liés par une liaison covalente : l'énergie potentielle d'interaction entre les deux atomes est attractive à longue portée et répulsive à courte portée. L'étude est menée dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. On suppose la molécule isolée et on néglige l'interaction gravitationnelle entre les deux atomes devant l'interaction conduisant à la liaison covalente.
1 - Tracer l'allure du profil d'énergie potentielle de cette molécule en fonction de la longueur de la liaison. On y fera figurer la longueur d'équilibre de la liaison et l'énergie de liaison .
2 - Donner un ordre de grandeur de en nm et de en .
3 - Compte tenu de l'allure de la courbe de la question 1, et moyennant une hypothèse à préciser, justifier que l'on peut assimiler la liaison covalente à un ressort dont on exprimera la constante de raideur en fonction d'une dérivée de .
On suppose cette approximation valide dans toute la suite.
4 - Exprimer l'énergie cinétique de la molécule en fonction des vitesses et des masses des atomes et dans le référentiel du laboratoire.
5 - Calculer un ordre de grandeur de la vitesse caractéristique des molécules dans l'air à 300 K et sous une pression de 1 atm . On prendra pour valeur de la constante des gaz parfait et pour la masse molaire de l'air.
6 - Exprimer l'énergie mécanique de la molécule dans le référentiel du laboratoire, en fonction de et .
7 - On note le barycentre de la molécule tel que et sa vitesse dans le référentiel du laboratoire. On appelle référentiel barycentrique, le référentiel ayant les mêmes vecteurs de base que le référentiel du laboratoire mais d'origine . Ce référentiel est-il galiléen? On justifiera sa réponse. - On note , établir la relation dans laquelle on exprimera les constantes et en fonction des masses et la variable en fonction de et . - En écrivant avec , décomposer en la somme de trois termes que l'on supposera indépendants dans ce problème et qui représentent respectivement la translation , la vibration et la rotation de la molécule. On explicitera chacun de ces termes en fonction des grandeurs les plus adaptées.
FIN DE LA PARTIE I
II. - Capacité thermique d'un gaz parfait diatomique
On s'intéresse maintenant à un gaz parfait de molécules diatomiques identiques. On cherche à déterminer l'expression de la capacité thermique de ce gaz en exploitant le modèle développé dans la partie précédente.
10 - Exprimer l'énergie interne de cet ensemble de particules en fonction de et , où est l'énergie moyenne d'une molécule de cet ensemble de molécules.
11 - Énoncer le théorème d'équipartition de l'énergie.
12 - Montrer que dans le modèle classique développé dans la partie I la capacité thermique molaire du gaz est une constante que l'on exprimera en fonction de .
La figure 1 présente les relevés expérimentaux de la capacité thermique molaire du dichlore gazeux et du dihydrogène gazeux à diverses températures.
Figure 1 - Mesures de la capacité thermique molaire du dichlore ( ) et du dihydrogène ( ) gazeux en fonction de la température.
13 - Commenter les deux courbes de la figure 1 au vu des prédictions théoriques obtenues précédemment.
FIN DE LA PARTIE II
III. - L'oscillateur harmonique en physique quantique
On envisage dans cette partie un traitement quantique de l'oscillateur harmonique étudié dans les parties précédentes. L'objectif est d'obtenir l'expression quantifiée des valeurs possibles de l'énergie de cet oscillateur harmonique dans cette théorie.
On note la fonction d'onde du système décrivant l'oscillateur harmonique associé à la molécule diatomique considérée. Ce système est un point matériel dont la masse est le paramètre introduit à la question 8 . Ce point évolue évolue le long d'un axe ( ), la distance représente l'élongation du ressort de raideur modélisant la liaison chimique entre les deux atomes à travers le potentiel . Il s'agit donc d'un problème unidimensionnel. Le système est de plus stationnaire, on peut donc séparer la fonction d'onde en deux parties sous la forme où représente les valeurs de l'énergie accessibles à ce système. Pour l'oscillateur harmonique, on montre que ces valeurs de doivent être positives. La fonction est une solution de norme unité de l'équation de Schrödinger
14-Ecrire l'équation différentielle vérifiée par la fonction en fonction des paramètres et .
On effectue le changement de variable et l'on pose . - Quelles sont les dimensions de et de ?
16 - Ecrire l'équation différentielle vérifiée par la fonction en fonction du seul paramètre .
17-Vérifier que dans le régime , on peut écrire
18 - Justifier succinctement que seule la solution est physiquement acceptable.
Dès lors que nous connaissons le comportement asymptotique de la solution recherchée, nous pouvons l'extraire de celle-ci en effectuant le changement de fonction
19 - Déterminer l'équation différentielle vérifiée par la fonction ?
Pour résoudre cette équation, on effectue un développement en série entière de la fonction :
- Exprimer le coefficient en fonction du coefficient , de l'entier et de .
Si l'on conserve tous les termes de la série, on montre que le comportement asymptotique de la fonction l'emporte sur en ce qui ne permet pas de construire de solution physiquement acceptable. La seule possibilité est de tronquer la série en imposant l'existence d'un entier tel que si alors .
- En déduire que les énergies accessibles à un oscillateur harmonique en régime quantique sont de la forme
où est une grandeur que l'on exprimera en fonction de et .
IV. - Capacité thermique et quantification
Comme dans la partie II, on s'intéresse à un ensemble de molécules diatomiques identiques. Ce gaz est à l'équilibre thermique à la température . La probabilité qu'une molécule de ce gaz se trouve dans un état d'énergie s'écrit
où est une fonction de et de uniquement.
22 - Par analyse dimensionnelle, exprimer en fonction de et de .
Contrairement à la partie II où l'on avait utilisé l'expression classique de l'énergie, on utilise maintenant l'expression de l'énergie de l'oscillateur harmonique obtenue dans le modèle quantique à la question 21. C'est Albert Einstein qui eût cette idée le premier en 1907 afin de tenter de régler certains problèmes de la physique classique dans le traitement du comportement des solides à basse température. L'idée est ici la même, mais rend compte de la vibration des molécules diatomiques.
23 - Exprimer la constante en fonction de .
24 - En déduire l'expression de l'énergie moyenne de l'ensemble de ces particules en fonction de et .
25 - Montrer que la capacité thermique molaire à volume constant de ce gaz s'écrit
Figure 2 - Graphe de
On désigne par la température, dite de vibration, caractéristique des vibrations de la molécule qui est telle que .
- Réécrire l'expression de en fonction de et .
La figure 2 représente l'allure de la fonction
27 - La table ci-dessous fournit la température de vibration de quelques molécules diatomiques. Quelle partie des mesures présentées sur la figure 1 le modèle est-il censé représenter? La théorie est-elle en accord avec l'expérience?
Molécule
HCl
HBr
6220
4390
5380
808
463
4230
3790
Mines Physique 2 MP 2017 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa
