Mines Physique 2 PC 2011

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP) ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2011
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PC

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE II—PC.
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages.

L'épreuve est constituée de trois parties indépendantes. La première partie concerne l'étude de la propagation de la lumière dans une fibre optique dans le cadre de l'optique géométrique. La deuxième partie complète la première en étudiant la structure transverse d'une onde électromagnétique dans la fibre, et les conditions d'obtention d'une fibre monomode. Enfin, la dernière partie traite des effets non linéaires dans la fibre, notamment de l'effet Kerr optique. Après une modélisation microscopique de ce dernier, on s'intéresse au phénomène d'auto-modulation de phase et à l'existence possible de solitons optiques. Les applications numériques seront données avec 3 chiffres significatifs.
Une fibre optique à saut d'indice, représentée sur la figure 1 est formée d'un cœur cylindrique en verre d'axe ( ), de diamètre et d'indice entouré d'une gaine optique d'indice légèrement inférieur à . Les deux milieux sont supposés homogènes, isotropes, transparents et non chargés. Un rayon situé dans le plan ( ) entre dans la fibre au point avec un angle d'incidence . Afin de ne pas confondre l'angle d'incidence sur la gaine avec le nombre complexe imaginaire pur de module 1 , on notera ce dernier tel que . Quelques constantes sont données en fin d'épreuve. Les vecteurs sont surmontés d'un chapeau, , s'ils sont unitaires ou d'une flèche, , dans le cas général.

Dans cette partie, les rayons lumineux sont supposés issus d'une radiation monochromatique de fréquence , de pulsation et de longueur d'onde dans le milieu constituant le cœur.
- Les différents angles utiles sont représentés sur la figure 1. À quelle condition sur , angle d'incidence à l'interface cœur/gaine, le rayon reste-t-il confiné à l'intérieur du cœur? On note l'angle d'incidence limite.

2- Montrer que la condition précédente est vérifiée si l'angle d'incidence est inférieur à un angle limite dont on exprimera le sinus en fonction de et . En déduire l'expression de l'ouverture numérique de la fibre en fonction de et uniquement.
- Donner la valeur numérique de pour et .
On considère une fibre optique de longueur . Le rayon entre dans la fibre avec un angle d'incidence variable compris entre 0 et . On note la vitesse de la lumière dans le vide.
- Pour quelle valeur de l'angle , le temps de parcours de la lumière dans la fibre est-il minimal ? maximal ? Exprimer alors l'intervalle de temps entre le temps de parcours minimal et maximal en fonction de et .
- On pose . On admet que pour les fibres optiques . Donner dans ce cas l'expression approchée de en fonction de et . On conservera cette expression de pour la suite du problème.

On injecte à l'entrée de la fibre une impulsion lumineuse d'une durée caractéristique formée par un faisceau de rayons ayant un angle d'incidence compris entre 0 et . La figure 2 ci-contre représente l'allure de l'amplitude du signal lumineux en fonction du temps .

Le codage binaire de l'information consiste à envoyer des impulsions lumineuses (appelées «bits ») périodiquement

- En supposant négligeable devant , quelle condition portant sur la fréquence d'émission exprime le non-recouvrement des impulsions à la sortie de la fibre optique ?

Pour une fréquence donnée, on définit la longueur maximale de la fibre optique permettant d'éviter le phénomène de recouvrement des impulsions. On appelle bande passante de la fibre le produit .
- Exprimer la bande passante en fonction de et .
- Calculer la valeur numérique de et de la bande passante (exprimée en ) avec les valeurs de et données dans la question 3. Pour un débit d'information de 100 MHz , quelle longueur maximale de fibre optique peut-on utiliser pour transmettre le signal? Commenter la valeur de obtenue.

10 - À quelle condition sur et l'étude géométrique de la fibre menée dans la partie précédente cesse-t-elle d'être valable ? Dans ce cas, une approche ondulatoire de la propagation est nécessaire.

En lumière monochromatique, seules certaines formes d'ondes, appelées «modes », peuvent se propager dans la fibre. Chaque mode se propage à une vitesse différente, ce qui engendre l'étalement des impulsions lumineuses et donc réduit la bande passante. Pour améliorer les performances, les fabricants de fibres optiques ont été amenés à élaborer des fibres à saut d'indice dites «monomodes »: un seul mode peut s'y propager, ce qui a pour effet de diminuer considérablement l'étalement des impulsions. La bande passante des fibres monomodes est ainsi beaucoup plus élevée que celle calculée à la question 9. Cette partie se propose d'étudier les conditions d'obtention d'une fibre optique à saut d'indice monomode.

On étudie donc la propagation d'un champ électromagnétique de pulsation dans la direction des positifs. Pour simplifier, on se limite aux solutions pour lesquelles est polarisé suivant , avec ( ) trièdre direct. On note

En notation complexe, et en simplifiant la géométrie du système, les champs sont recherchés sous la forme :

- En utilisant les relations de passage à la traversée d'un dioptre entre deux milieux diélectriques non chargés, montrer que .
- En utilisant l'équation de propagation du champ dans un milieu diélectrique d'indice , montrer que les fonctions sont solutions de l'équation différentielle

On donnera l'expression de pour chacune des trois régions en fonction de et ou .
Afin que la fibre optique soit effectivement un guide d'onde, on doit fixer les paramètres de cette équation de telle manière que ses solutions soient des ondes stationnaires suivant ( ) dans le cœur, et évanescentes suivant dans la gaine. Dans les trois régions considérées, les fonctions s'écriront donc sous la forme

où et sont deux réels positifs. Les coefficients et sont fixés grâce aux conditions aux limites du problème et le paramètre permet d'obtenir les deux familles de solutions. On posera et où l'angle correspond à l'angle de réflexion représenté sur la figure 1 .
- Exprimer en fonction de et , puis en fonction de et .
14- Pour et donnés, quelle est la valeur maximale de ? En déduire la valeur minimale de et commenter le résultat obtenu.
- À partir des équations de Maxwell, déterminer l'expression de la représentation complexe du champ magnétique dans chacun des trois milieux.
- On pose et . En utilisant les relations de continuité des champs en , obtenir deux équations liant et .
17 - En déduire, dans chacun des cas ou , la relation que doivent vérifier et . Montrer que la réunion des deux cas se résume en la condition avec . On rappelle que si , alors .
Comme et sont des fonctions de , on pose . Pour donné, on admet que la fonction est strictement croissante sur . Quand elle existe, la solution de l'équation est donc unique.
On souhaite réaliser une fibre monomode, c'est-à-dire une fibre dans laquelle l'angle ne puisse prendre qu'une seule valeur pour la radiation de longueur d'onde utilisée. Pour les applications numériques, on prendra .
- Déterminer la valeur maximale de sur l'intervalle . Montrer que si , la fibre est monomode quelles que soient les valeurs de et . Montrer que si , l'équation n'a de solution que si où est un rayon minimal que l'on exprimera en fonction de et .
19-Dans la pratique, afin de réaliser une fibre monomode, on prendra un rayon et seul le mode associé à se propagera dans la fibre. Calculer la valeur de pour et commenter le résultat obtenu.

Même dans une fibre monomode, un autre phénomène provoque l'étalement des impulsions lumineuses. En effet, le cœur de silice est un milieu dispersif, c'est-à-dire que son indice optique dépend de la fréquence du rayonnement. Aux fréquences optiques, les fibres optiques sont généralement le siège d'une dispersion dite «anomale», pour laquelle les composantes haute fréquence se propagent plus vite que les composantes basse fréquence.
Or, la durée finie des paquets d'onde émis par les sources implique que l'onde qui se propage dans la fibre n'est jamais strictement monochromatique. Toutes les composantes fréquentielles du paquet d'onde ne se propageant pas à la même vitesse dans la fibre, un élargissement temporel de l'impulsion apparaît au cours de la propagation. Ce phénomène est appelé «dispersion intramodale» ou «dispersion chromatique .

20 - La figure 3 représente le profil temporel du champ électrique scalaire d'un paquet d'onde «gaussien» injecté à l'entrée de la fibre. L'origine des temps est choisie telle que le centre du paquet d'onde passe en à .
Représenter l'allure du profil temporel du champ électrique scalaire du paquet d'onde après propagation dans la fibre.

Quand l'amplitude du champ électrique de l'onde se propageant dans le cœur de la fibre n'est plus négligeable (i. e. ) devant le champ électrique intra-atomique assurant la cohésion de l'atome, des phénomènes optiques non linéaires peuvent apparaître.
- On rappelle que la puissance par unité de surface transportée dans un milieu d'indice par une onde plane progressive d'amplitude , aussi appelée intensité lumineuse, s'écrit . Déterminer l'ordre de grandeur de l'intensité lumineuse au delà de laquelle la propagation peut donner lieu à des phénomènes optiques non linéaires? Quelle invention du XX siècle a-t-elle permis d'atteindre de telles puissances surfaciques?

Dans cette partie, on propose une modélisation microscopique des interactions lumière/matière permettant d'expliquer l'effet Kerr optique, c'est-à-dire l'apparition d'une variation d'indice dans le milieu proportionnelle à l'intensité du faisceau lumineux qui s'y propage. Le modèle microscopique de l'électron lié suffit ici à rendre compte des propriétés essentielles que l'on cherche à mettre en évidence. On note l'écart à la position d'équilibre d'un électron de masse et de charge . Sous l'action de la force exercée par un champ électrique de forte puissance polarisé suivant , on suppose que l'électron est, par réaction, soumis à une force de rappel comportant un terme harmonique et un terme de correction anharmonique :

où est la pulsation de résonance de l'atome et la constante de Planck réduite. Dans toute cette partie, on suppose que la pulsation de l'onde incidente est différente de la pulsation de résonance du système mais suffisament proche de celle-ci soit mais . On note également :

22-Quelle est la dimension du coefficient traduisant l'importance du phénomène non linéaire?
- Établir l'équation vérifiée par la fonction .
Pour résoudre cette équation, on utilise un développement perturbatif aux différentes puissances de . On pose alors avec solution de l'équation différentielle linéaire obtenue pour , et perturbation obtenue en ne conservant dans l'équation différentielle que les termes du premier ordre en .
- Déterminer l'expression de .
- Déterminer l'équation différentielle vérifiée par . On admettra que si est suffisament proche de la solution de cette équation s'écrit

Quelle est l'origine mathématique du terme en contenu dans cette solution?
- On note la susceptibilité électrique du milieu et la composante selon l'axe du vecteur polarisation . Déterminer les expressions de en fonction de et d'une part, et et d'autre part. On supposera le milieu isotrope et linéaire, cette approximation n'est pas en désaccord avec le développement perturbatif étudié ici.
- En ne conservant que le terme de pulsation dans et , déduire de la question précédente l'expression de l'indice du milieu en fonction de et .

Dans le visible ( ), on peut supposer que les différents indices ne varient pas avec la fréquence. Cette hypothèses revient à supposer que le milieu est non dispersif. La structure transverse de l'onde se propageant dans la fibre a été étudiée dans la partie II. Dans cette partie on se propose d'étudier l'influence des non linéarités optiques sur la structure longitudinale de l'onde. On suppose qu'en notation complexe le champ électrique dans la fibre peut se mettre sous la forme avec

On admet que dans les conditions du problème, l'enveloppe de l'impulsion est solution de l'équation

où dépend de l'indice du milieu de propagation mais pas du temps .
- Montrer que le module de ne dépend pas de .
— On pose . On admettra que est réel. Donner les expressions de l'enveloppe puis du champ .
- On note . Pour un paquet d'onde gaussien centré sur de profil temporel , déterminer l'expression de la pulsation instantanée puis tracer son allure en fonction du temps pour une valeur fixée non nulle de .
- La courbe tracée à la question précédente donne la distribution spectrale autour de la pulsation centrale du paquet d'onde gaussien pour le front montant ( ) et descendant ( ) de ce paquet. En déduire comment est déformé un paquet d'onde gaussien (représenté sur la figure 3) au cours de sa propagation dans un milieu présentant un effet Kerr optique. Ce phénomène est appelé automodulation.

- On considère que la fibre optique étudiée est à la fois le siège d'un phénomène de dispersion intramodale (cf. partie II.B) et d'un phénomène d'automodulation (cf. partie III.B). Montrer qualitativement qu'on peut envisager la propagation d'un paquet d'onde sans déformation. Un tel mode de propagation est appelé soliton optique.