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Mines Physique 2 PSI 2025

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Mines
Année
2025
Filière
PSI
Matière
Physique
Mines PSIMines 2025PSI PhysiquePhysique 2025
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A2025 - PHYSIQUE II PSI

Concours commun
Mines-Ponts

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS et CHAUSSÉES, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2025

DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

PHYSIQUE II - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 9 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Oscillations mécaniques et électriques

Il est souvent plus simple lorsque l'on veut étudier expérimentalement, au laboratoire, le comportement d'un oscillateur mécanique en fonction de ses paramètres, d'en réaliser une version électronique plutôt qu'une version mécanique. Les réglages sont plus fins car plus nombreux et la possibilité d'acquisition directe des signaux en divers points du circuit électrique permet la mise au point et l'adaptation de ce dernier à la richesse des oscillations mécaniques. Après avoir étudié un oscillateur mécanique et entrepris sa modélisation numérique dans la première partie, nous construirons progressivement dans la seconde son équivalent électronique. Dans tout le problème un point surmontant une fonction désigne sa dérivée temporelle :

I Oscillateur mécanique

On considère un ressort d'extrémités et , de raideur , de longueur à vide et de longueur à un instant quelconque. Ce ressort est suspendu verticalement par son extrémité à un point fixe d'un support immobile dans le référentiel galiléen d'étude . À son extrémité est accroché un point matériel de masse . L'extrémité (resp. ) du ressort se confond avec le point (resp. ) (cf. figure 1).
Figure 1 - Ressort et oscillateur vertical
On suppose que le mouvement du point matériel reste vertical : en se repérant dans le système de coordonnées cartésiennes ( ) d'origine , le point appartient à la droite ( ).
Dans tout le problème, le ressort reste dans son domaine élastique de fonctionnement associé à une force de rappel proportionnelle à son allongement. Le champ de pesanteur est uniforme égal à avec . On néglige toute forme de frottement.
On suppose tout d'abord que le ressort a une masse nulle.
    1. Établir l'expression de l'énergie potentielle élastique du ressort dont on prendra l'origine lorsque la longueur du ressort est égale à sa longueur à vide. On exprimera en fonction de et .
    1. Établir, en fonction de et , l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur du point matériel dont on prendra l'origine en .
    1. En déduire l'expression de l'énergie mécanique du point matériel de masse dans le référentiel galiléen en fonction notamment de .
    1. Établir l'équation différentielle du mouvement du point matériel vérifiée par dans le référentiel galiléen .
    1. Résoudre l'équation différentielle obtenue à la question précédente en supposant qu'à , le point matériel est lâché sans vitesse initiale de la position . On fera apparaître une pulsation .
      Quelle condition doit-on imposer à pour que le point matériel ne heurte pas le support fixe où est suspendu le ressort? On exprimera cette condition en fonction de et . Qualifier le mouvement observé : tracer l'allure de en fonction de .
      Donner l'expression de la période du mouvement du point matériel et calculer sa valeur numérique pour et .
Dans les 6 questions suivantes, on tient compte de la masse non nulle du ressort. On suppose que l'expression de l'énergie potentielle élastique du ressort établie à la question 1 n'est pas modifiée. Par contre, son énergie potentielle de pesanteur est affectée par cette modification. Pour la déterminer, on suppose que, quelque soit sa longueur , la masse du ressort est uniformément répartie sur toute sa longueur et que, pour tout compris entre 0 et , la tranche élémentaire de ressort comprise entre et possède, dans le référentiel , une vitesse proportionnelle à . On conserve les mêmes origines que précédemment pour les énergies potentielles.
    1. Établir l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur associée au ressort en fonction de et .
    1. Établir l'expression de l'énergie cinétique du ressort en fonction de et .
    1. En déduire l'expression de l'énergie mécanique du système constitué par le point matériel de masse et le ressort de masse dans le référentiel galiléen en fonction de et .
    1. Établir l'équation différentielle du mouvement du point matériel vérifiée par dans le référentiel galiléen . Commenter.
    1. Résoudre l'équation différentielle obtenue à la question précédente en supposant qu'à , le point matériel est lâché sans vitesse initiale de la position . On fera apparaître une pulsation .
      Qualifier le mouvement observé en supposant que le point matériel ne heurte pas le support fixe.
      Déterminer l'expression de la période du mouvement du point matériel en fonction de et puis calculer sa valeur numérique pour , et (on pourra utiliser l'approximation ).
    1. Quelle condition doit satisfaire pour que l'écart relatif entre et ne dépasse pas ? On fera l'application numérique dans les conditions de la question précédente.
      Le point matériel de masse est maintenant astreint à se déplacer, sans frottement, horizontalement sur une glissière parfaite qui se confond avec la droite ( ) (cf figure 2). Le ressort précédent, dont on suppose la masse nulle dans toute la suite du problème, est toujours accroché par son extrémité au point fixe dans le référentiel galiléen d'étude et par son extrémité au point matériel :
Figure 2 - Oscillateur horizontal
On se place maintenant dans le système de coordonnées cartésiennes ( ) d'origine telle que la droite ( ) soit perpendiculaire à la droite ( ) : le point matériel est ainsi repéré par son abscisse sur la droite . On note la distance .
    1. En fonction du paramètre , discuter des positions d'équilibre du point et de leur stabilité respective : on exprimera les abscisses d'équilibre associées en fonction des données et on donnera les allures correspondantes de en fonction de en précisant les valeurs remarquables.
    1. Dans quel cas peut-on parler de barrière de potentiel? Préciser sa hauteur en fonction des données.
    1. Établir l'équation différentielle du mouvement du point matériel vérifiée par dans le référentiel galiléen .
      Que représente physiquement en termes de force?
    1. Transformer l'équation différentielle du mouvement en 2 équations différentielles d'ordre 1 en variables et .
      En introduisant les estimations de et de aux instants pour où désigne le pas de discrétisation temporelle, former les 2 relations exprimant et en fonction de et déduites de la méthode d'Euler explicite.
      Quelles valeurs doit-on donner pour à et ?
      Pour et , on effectue la résolution numérique de l'équation différentielle du mouvement pour déterminer et en fonction de pour 2 conditions initiales A et B différentes. Les résultats sont présentés sur la figure 3.
Figure 3 - Solutions numériques pour deux conditions initiales distinctes
    1. Comparer le plus précisément possible la nature du mouvement dans les 2 cas.
    1. Dans le cas B, établir une expression approchée de la valeur moyenne des oscillations (en fonction de et ) et de leur période en fonction de et .
      Effectuer les applications numériques et comparer les résultats aux valeurs lues sur la figure 3. Conclure sur les approximations effectuées.
    1. Les 2 cas A et B correspondent à deux types de mouvements différents du point . Dans le cas où les conditions initiales sont du type et , établir la condition que doit vérifier pour que l'on soit dans le cas A .
      En conservant les valeurs et , on a représenté sur la figure 4 l'allure de en fonction de dans les cas (à gauche) et (à droite).
Figure 4 - Représentation graphique de la dérivée de l'énergie potentielle de pesanteur de
On suppose pouvoir modéliser la fonction par un polynôme de degré 3 de la variable de la forme :
    1. Commenter cette affirmation et préciser en fonction de la valeur de les signes des constantes et .
      Réécrire alors l'équation différentielle du mouvement du point matériel vérifiée par . Cette équation est connue sous le nom d'équation de Duffing non amortie.

II Oscillateur électrique

Dans la suite du problème, nous allons étudier le circuit électronique présenté sur la figure 5 visant à simuler l'oscillateur mécanique décrit dans la partie précédente. Les trois amplificateurs linéaires intégrés (ALI) nommés (A1), (A2) et (A3) sont supposés idéaux, de gain infini et fonctionnant en régime linéaire. On notera et leurs tensions de saturation haute et basse.
    1. Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension définie sur le circuit de la figure 5.
      À quelle situation mécanique ce circuit correspond-il?
    1. On suppose, uniquement dans cette question, que l'on place dans le circuit de la figure 5 une résistance en parallèle sur le condensateur de capacité . Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension . À quelle situation mécanique ce circuit correspond-il?
Figure 5 - Oscillateur électronique
On considère la diode représentée sur la partie gauche de la figure 6. Elle est orientée en convention récepteur que l'on modélise la manière suivante : lorsque , alors : la diode est passante et lorsque , alors : la diode est bloquée; la tension , caractéristique de la diode considérée et appelée tension seuil de la diode, est une tension supposée positive et constante.
On réalise avec une diode de tension seuil et une diode de tension seuil le dipôle, dit tête-bêche, représenté sur la partie droite de la figure 6 .
Figure 6 - Description d'une diode (à gauche) et d'un montage à diode en tête-bèche (à droite)
    1. Tracer la caractéristique courant-tension de la diode .
Établir la caractéristique courant-tension du dipôle tête-bèche puis tracer cette caractéristique. On précisera l'état des deux diodes (passante ou bloquée) sur les différentes zones apparaissant dans cette caractéristique.
On considère le montage de la figure 7 réalisé avec un amplificateur linéaire intégré nommé (A4) supposé idéal, de gain infini et fonctionnant en régime linéaire. On suppose que les deux diodes et implantées dans ce montage sont parfaitement identiques et de même tension seuil .
Figure 7 - Circuit à diodes
    1. Établir la caractéristique du montage de la figure 7. Cette caractéristique fait apparaitre 3 zones différentes : dans chacune d'entre elles, on précisera l'expression de et la condition que doit vérifier pour être dans la zone considérée en fonction des résistances et de la tension seuil .
      . Pour , tracer la caractéristique : on précisera la valeur numérique des pentes des droites apparaissant sur le tracé ainsi que l'expression des coordonnées des points remarquables en fonction de : extrema, intersections avec l'axe des abscisses.
Grâce à un montage en laboratoire, on a pu relever le tracé de la caractéristique correspondant au circuit de la figure 7. Cette caractéristique est reproduite sur la figure 8.
Figure 8 - Relevé expérimental de la caractéristique du montage de la figure 7
    1. Comparer précisément le tracé de la question 25 avec le relevé expérimental et proposer une interprétation pour les écarts entre les tracés.
      Estimer la valeur numérique de la tension seuil en supposant que les valeurs numériques des abscisses des points d'intersection du relevé expérimental avec l'axe des abscisses s'identifient aux expressions établies dans la question 25.
On suppose pouvoir modéliser la fonction par un polynôme de degré 3 de la variable de la forme :
    1. Déterminer les valeurs numériques de et fixées par le relevé expérimental de la figure 8.
On insère maintenant le circuit à diodes de la figure 7, d'entrée et de sortie , dans le circuit de la figure 5 comme indiqué sur la figure 9 ci-dessous :
Figure 9 - Circuit complet
    1. Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension du circuit de la figure 9 en fonction de et . Commenter.
      Si , quelle condition doit vérifier pour se trouver dans une situation semblable à celle de la question 20 avec ? On expliquera le raisonnement.
      On souhaite relever expérimentalement sur le montage de la figure 9 des courbes analogues à celles de l'oscillateur mécanique données sur la figure 3.
    1. Comment avoir accès expérimentalement à une tension proportionnelle à ?
Comment imposer expérimentalement des conditions initiales et non identiquement nulles dans le montage de la figure 9 ?
Lorsque l'on réalise le montage de la figure 9 , les allures des tensions et relevées expérimentalement ne sont pas semblables à celles des oscillations mécaniques de la figure 3.
On se propose d'interpréter ce fait expérimental en considérant que les amplificateurs linéaires intégrés utilisés ne sont pas idéaux car ils présentent des courants d'entrée d'intensités et - faibles (de l'ordre du nanoampère) mais non nulles.
Il faut alors reprendre l'analyse du montage de la figure 9 en changeant la modélisation des ALI. Pour ce faire, on peut par exemple introduire deux générateurs de courant comme dans le schéma de la figure 10 où la modélisation de l'ALI réel (A1) apparait entourée par des pointillés.
Figure 10 - Circuit avec la modélisation d'un ALI réel
    1. En supposant les intensités et constantes dans le temps, établir l'équation différentielle reliant les tensions et .
      Résoudre cette équation en pour en supposant le condensateur de capacité initialement déchargé.
      En déduire pourquoi les allures observées des tensions et ne sont pas celles attendues; préciser le phénomène observé.
      On place dorénavant une résistance en parallèle avec le condensateur de capacité .
    1. Établir l'équation différentielle reliant les tensions et et donner la forme générale (sans préciser toutes les constantes) de en régime établi pour .
      En déduire l'intérêt de placer une résistance en parallèle sur le condensateur et une résistance en parallèle sur le condensateur du circuit de la figure 9 .
      Après avoir placé les deux résistances identiques , en parallèle sur les condensateurs et du circuit de la figure 9 réalisé avec et , on obtient les relevés expérimentaux présentés sur la figure 11.
Figure 11 - Relevés expérimentaux pour deux conditions initiales différentes lorsque une résistance est placée en parallèle sur et
    1. Commenter et interpréter précisément les allures des tensions et dans les 2 cas et en faisant le lien avec les questions précédentes.
      Quelle propriété possède le circuit vis-à-vis de ses conditions initiales?
      On souhaite que le comportement du circuit de la figure 9 réalisé avec des ALI réels soit le plus proche possible de celui décrit par l'équation différentielle établie à la question sur une durée de l'ordre de la centaine de secondes. En choisissant , et deux résistances , de valeur identique on obtient finalement les résultats expérimentaux présentés sur la figure 12 .
Figure 12 - Relevés expérimentaux pour trois conditions initiales différentes lorsque les paramètres du circuit de la figure 9 sont correctement réglés avec une résistance placée en parallèle sur et
    1. En appuyant votre raisonnement sur une équation différentielle que l'on essaiera de rapprocher le plus possible de celle de Duffing obtenue à la question 28, comparer qualitativement les valeurs de (cas C et D de la figure 11) et de (cas et G de la figure 12).
Apparait-il d'autres conditions que les composants du circuit de la figure 9 devraient vérifier pour lui assurer le comportement souhaité? Les préciser.

FIN DE L'ÉPREUVE

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