Instruction générales:
Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées .
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette correspondant à cette épreuve.

Aucun document n'est autorisé
L'emploi d'une calculatrice est interdit

Notons ．Il est clair que est définie entier，et que cette fonction est de classe ．Nous noterons la courbe représentative de ．

1．－Quelle est la limite de lorsque tend vers ？
2．－Qu＇en déduisez－vous au sujet de ？
3．－Complétez chacune des phrases suivantes au moyen de l＇une des locutions «est équivalent à»，《est négligeable devant》，《est dominé par 》：

Lorsque plusieurs réponses sont acceptables，vous donnerez la plus précise．Bien entendu，vous justifierez votre choix．
4．－Quelle est la limite de lorsque tend vers ？
5．－Explicitez ．
6．－Dressez le tableau des variations de ．
7．－Explicitez ．
8．－Montrez que l＇équation possède deux solutions réelles ：l＇une est évidente，l＇autre sera notée ．Vous ne chercherez pas à calculer ．
9．－Prouvez l＇encadrement ．
10．－Explicitez le développement limité de à l＇ordre 3 au voisinage de 0 ．Que pouvez－vous en déduire concernant ？
11．－Tracez la courbe représentative de ．Vous préciserez son allure au voisinage du point d＇abscisse 1.

Au vu des expressions de et ，nous nous proposons d＇établir que l＇assertion suivante est vraie pour tout ：

Il existe un polynôme tel que pour tout
Vous allez raisonner par récurrence sur ．
Remarque：vous pouvez confondre polynôme et fonction polynomiale．
12．－Il est clair que est vraie pour ；vous dresserez simplement un tableau donnant l＇expression de pour ces valeurs de ．
13．－Fixons ，et supposons l＇assertion acquise．Établissez l＇assertion ；vous déterminerez l＇expression de en fonction de et ．
Il résulte donc des questions 12 et 13 que l＇assertion est vraie pour tout ．
14．－Montrez que a tous ses coefficients dans ．
15．－Précisez le degré et le coefficient dominant de ．
16．－Donnez une expression simple de ，où est le nombre complexe de module 1 et d＇argument ．

Notons . Ainsi, est la primitive de qui s'annule en 0 .
17. - Quel est le sens de variation de ?
18. - Montrez que possède une limite finie lorsque tend vers . Vous ne chercherez pas à expliciter cette limite.
19. - Prouvez l'encadrement .
20. - Donnez une équation de la tangente à la courbe représentative de , au point d'abscisse 0 .
21. - Explicitez le développement limité de à l'ordre 4 au voisinage de 0 .

Nous nous proposons d'étudier le comportement de lorsque tend vers . Nous noterons et .
22. - Prouvez l'existence d'une constante telle que pour tout réel .
23. - Pour , placez les uns par rapport aux autres les réels et .
24. - Avec une intégration par parties soigneusement justifiée, montrez que est négligeable devant lorsque tend vers .
25. - En découpant l'intervalle sous la forme , montrez que est négligeable devant lorsque tend vers .
26. - En déduire un équivalent simple de lorsque tend vers .
27. - Exploitez les résultats des questions 17, 19, 20 et 26 pour donner l'allure de la courbe représentative de .

Notons E le -espace vectoriel des applications de dans de classe et . Il est clair que est un endomorphisme de E .

Soient et . Nous noterons et G le sous-espace vectoriel de E engendré par .
Nous allons montrer que est une famille libre de vecteurs de E. Soient et des réels tels que soit la fonction nulle.
2. - L'étudiante Antoinette observe que pour tout réel . Elle choisit (adroitement) trois valeurs de , obtient un système de trois équations aux trois inconnues et , qu'elle résout ; il ne lui reste plus qu'à conclure. Faites comme elle!
3. - L'étudiante Lucie propose d'exploiter le développement limité à l'ordre 2 de la fonction au voisinage de 0 . Faites comme elle !
4. - L'étudiante Nicole décide de s'intéresser au comportement de lorsque tend vers . Faites comme elle!

La famille est donc une base de G , et ce sous-espace est de dimension 3.
5. - Montrez que G est stable par D.

Nous noterons l'endomorphisme de G induit par .
6. - Déterminez la matrice M de dans la base .
7. - Calculez .
8. - Montrez que M est inversible, et explicitez son inverse .
9. - Montrez que est un automorphisme de G.
10. - Exprimez en fonction de .

Soient et deux éléments de G. Définissons .
11. - Dressez un tableau à trois lignes et quatre colonnes ; pour , la ligne présentera les valeurs de et dans cet ordre. Vous ne ferez pas apparaître le détail des calculs sur votre copie.
12. - Montrez que est un produit scalaire sur G.
13. - La base est-elle orthogonale?
14. - La base est-elle orthonormée?

Nous nous intéressons dans cette partie à l'équation différentielle , que nous noterons . Une solution sur de est une fonction définie et trois fois dérivable sur , vérifiant pour tout .
15. - Montrez que toute solution de est de classe .
16. - Montrez que la fonction nulle est la seule solution polynomiale de .

Notons , où est l'identité de E , et . Le noyau de est donc l'ensemble des solutions de .
17. - Montrez que G est contenu dans le noyau de T.

Nous allons établir l'inclusion inverse; ainsi, G sera exactement l'ensemble des solutions de ( ). Soit une solution de ; nous noterons .
18. - Montrez que est solution de l'équation différentielle .
19. - Décrivez rapidement l'ensemble des solutions de l'équation différentielle .
20. - Résolvez l'équation différentielle ; vous donnerez une base de l'ensemble des solutions.
21. - Soit . Décrivez l'ensemble des solutions de l'équation différentielle .
22. - Et maintenant, concluez !