Petites Mines Mathématiques (MPSI) Sup 2004

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées .
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction: les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspondante.

Soit (E) l'équation différentielle : .
On note I l'intervalle ] - , 1 [.

Soit f la fonction définie sur I par : .
3. Calculer le développement limité de f au voisinage de 0 à l'ordre 3 .

Le but de cette partie est d'établir quelques propriétés des nombres .
7. Pour tout entier positif , exprimer en fonction de , et .
8.
a) Préciser, sans nouveau calcul: , . En déduire .
b) Préciser le développement limité de f au voisinage de 0 à l'ordre 4 .
9. On désigne par ( ) la suite définie pour tout entier naturel p par : .

En appliquant une formule de Taylor à la fonction exponentielle, prouver que la suite ( ) converge vers e.
p et n désignant des entiers naturels quelconques, on pose:

10.
a) Exprimer et à l'aide de et pour .
b) Prouver que les suites et convergent et préciser leur limite en fonction de e.
11. Prouver que quels que soient les entiers p et n supérieurs ou égaux à 1 :

12. En déduire que pour tout entier naturel n , la suite converge.
13. Prouver que :

Soient et les matrices définies par : et .
désigne l'espace vectoriel usuel orienté muni d'une base orthonormée directe .
Soit : f l'endomorphisme de défini par sa matrice J relativement à la base B et

Pour tout vecteur , on note la matrice relativement à la base B.
On définit ainsi les matrices colonnes à coefficients complexes et et on désigne par P la matrice carrée d'ordre 3:
3.
a) Exprimer les coefficients non réels de P en fonction de et .
(On rappelle que désigne le nombre complexe ).
b) Soit la matrice dont les coefficients sont les conjugués de ceux de . Exprimer le produit en fonction de la matrice I.
4.
a) Pour , calculer en fonction de .
b) En déduire une matrice diagonale telle que : .
5.
a) Prouver que l'ensemble des matrices M qui commutent avec J est le sous-espace vectoriel de engendré par I , J et .
b) Donner une base et la dimension de .
6. et désignant des nombres complexes quelconques, on note: .
a) Calculer la matrice , en utilisant le résultat de la question 4.b).
b) Calculer de façon indépendante les déterminants de et .
c) En déduire que l'expression : , est le produit de trois expressions de la forme où et représentent des nombres complexes à préciser.
d) On suppose que sont distincts et on considère ces nombres comme les affixes respectives des sommets d'un triangle ( T ) dans un plan complexe d'origine O .
Prouver que la matrice est singulière (autrement dit : non inversible ) si et seulement si est équilatéral ou si O est son centre de gravité.

On reprend les notations de la question précédente et on construit par récurrence une suite( ) de triangles de sommets et en posant:
.) .
.) désignant un nombre réel, pour tout entier naturel n , ( ) est le triangle dont les sommets et sont tels que :
est le barycentre des points pondérés ( ) et ( ),
est le barycentre des points pondérés ( ) et ( ),
est le barycentre des points pondérés ( ) et ( ).
On note: et les affixes respectives des sommets et

a) On admet qu'une suite géométrique non nulle de raison complexe q converge si et seulement si ou .
Prouver que la suite définie pour tout entier n par converge si et seulement si appartient à un intervalle à préciser.
b) Prouver que si cette condition est réalisée, les suites ( ), ( ) et ( ) convergent.
10.
a) Exprimer en fonction de .
b) Prouver que les suites et ont même limite.
c) Exprimer cette limite en fonction de et c .