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Petites Mines Mathématiques (MPSI) Sup 2006

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Algèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)GéométrieEquations différentiellesAlgèbre générale
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2006
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SUP
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Maths
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CONCOURS COMMUN 2006 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve de Mathématiques
(toutes filières)

Jeudi 11 mai 2006 de 14h00 à 18h00

Instructions générales :

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées .
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspondante.

L'emploi d'une calculatrice est interdit

PREMIER PROBLÈME

désigne l'ensemble des nombres réels. On notera l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels. On rappelle que ( , .) est un espace vectoriel sur et désigne la multiplication des matrices.
désigne l'ensemble des complexes. On notera le module d'un complexe .
Les différentes parties de ce problème ont un lien entre elles mais peuvent être traitées séparément.

Étude d'une fonction.

Soit la fonction qui à un complexe associe, lorsque c'est possible, .
  1. Déterminer le domaine de définition de
  2. a. Déterminer les racines carrées complexes de .
    b. En déduire tous les antécédents de par .
  3. Soit un complexe. Discuter suivant les valeurs de le nombre d'antécédents de par .
  4. Déterminer l'image de par . La fonction est-elle une application surjective de D dans ?
  5. est elle une application injective de dans ?
Soit l'application définie sur à valeur dans et telle que :
  1. Soit un complexe appartenant à de partie réelle et de partie imaginaire . Trouver la partie réelle et la partie imaginaire de . Montrer en particulier que la partie réelle de est: .
Soit le plan rapporté à un repère orthonormé direct . Soit l'ensemble des points du plan d'affixe tels que est un imaginaire pur.
7. Montrer que est inclus dans la réunion d'une droite et d'une conique . Préciser .
8. Déterminer la nature de . Préciser le centre et les axes de . Déterminer l'excentricité de ainsi que les coordonnées de ses foyers dans le repère .

Étude d'un polynôme.

Soit un entier naturel. Soit la fonction polynôme définie sur par: .
Le but de cette partie est de trouver tel que possède trois racines dans .
On suppose que existe. Soient les 3 racines de avec .
9. Que valent et ?
10. Calculer et en déduire que .
11. Déduire du 9. et du 10. que puis les valeurs de .
12. Montrer que . En déduire la valeur de .
13. Réciproquement, montrer que la valeur de ainsi trouvée convient bien.

Étude de deux ensembles de matrices.

Soit un élément quelconque de . On note la matrice .
Soit le sous-ensemble de tel que .
14. Quelle relation doivent vérifier et pour que la matrice ne soit pas inversible ?
Calculer le produit . En déduire l'inverse de lorsqu'il existe.
15. est-il un sous-espace vectoriel de ( . ) ? On justifiera sa réponse.
Soit et .
16. Montrer que est un sous-espace vectoriel de ( .
17. Quelle est la dimension de ? Déterminer une base de .
18. Montrer que la loi est interne dans .

Étude d'une application de .

Soit une matrice quelconque de . Soit l'application de dans qui à la matrice associe la matrice .
19. Montrer que est un endomorphisme de l'espace vectoriel ( ,.).
20. On suppose dans cette question que .
20.a est elle surjective ? Bijective?
20.b . Déterminer la matrice de dans la base canonique de .
On rappelle que la base canonique de est constituée des matrices
où et .
21. On prend dans cette question . est elle surjective ? Bijective ?

DEUXIÈME PROBLÈME.

Soit un entier naturel. Si est non nul, on note la fonction définie sur qui associe à un réel lorsque c'est possible . On note la fonction définie sur qui associe à un réel lorsque c'est possible .
Généralités sur .
Soit un entier naturel fixé.
  1. Déterminer le domaine de définition de .
  2. est-elle paire ? est-elle impaire ? On justifiera sa réponse.
  3. est-elle -périodique ?
  4. Montrer qu'il suffit d'étudier sur pour tracer sa courbe sur tout entier. On justifiera sa réponse.

Étude de la fonction .

  1. Étudier la dérivabilité de sur . Déterminer l'expression de sa dérivée.
  2. Étudier le signe de la dérivée de sur .
  3. Déterminer le tableau de variations sur et tracer l'allure de la courbe de sur dans le plan rapporté à un repère orthonormé.
    On rappelle que : a pour valeur 1,732 comme valeur approchée par défaut à près.
  4. Déterminer les valeurs maximales et minimales atteintes par quand parcourt . En déduire la valeur maximale atteinte par lorsque parcourt .

Utilisation d'une primitive de .

  1. Déterminer une primitive de sur . En déduire .
Soit l'équation différentielle .
10. Résoudre sur l'équation sans second membre associée à .
11. Chercher une solution particulière de sous la forme avec . Résoudre ( ) sur .
12. Trouver la fonction définie sur , solution de et qui vérifie : .

Étude d'une courbe polaire.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct . Soit la courbe définie par l'équation polaire : . Pour tout réel on notera le vecteur et le point du plan tel que .
13. Soit un élément de . Montrer qu'il existe une symétrie telle que .
14. Déterminer une équation cartésienne de la tangente à au point .
15. Tracer l'allure de la courbe .
Étude de la fonction .
16. Déterminer le domaine de définition de .
17. Montrer que admet une limite finie en 0 .
On prolonge par continuité en posant : .
18. Déterminer le développement limité en 0 d'ordre 3 de ainsi prolongée.
19. Montrer que est dérivable en 0 et déterminer .
On admet que est dérivable sur et que pour tout de est strictement négatif.
20. Montrer que est une bijection entre et un ensemble à définir. On notera sa réciproque.
Étude d'une suite qui annule .
Soit un entier naturel non nul.
21. Montrer que si est un réel strictement positif qui annule , alors appartient à l'intervalle .
22. Montrer qu'il existe un unique réel appartenant à tel que .
23. Montrer que la suite ( ) est convergente et déterminer sa limite.

FIN DE L'ÉPREUVE

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