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Petites Mines Mathématiques (MPSI) Sup 2008

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Algèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Nombres complexes et trigonométrie, calculs, outilsNombres complexes et trigonométries, calculs, outilsIntégrales à paramètres
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2008
Filière
SUP
Matière
Maths
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CONCOURS COMMUN 2008 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve de Mathématiques (toutes filières)

Lundi 19 mai 2008 de 14H00 à 18H00

Instructions générales :

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées .
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspondant à l'épreuve commune de Mathématiques.

L'emploi d'une calculatrice est interdit

Remarque importante :

Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

PREMIER PROBLÈME

Dans tout ce problème, désigne un entier non nul, et sont deux nombres réels.
La notation désigne le -espace vectoriel des polynômes à coefficients dans et ayant un degré inférieur ou égal à .
Pour tout , on pose :

Partie A : Etude de

Dans toute cette partie, on suppose que . On pose donc :
  1. Démontrer que est un endomorphisme de .
  2. Soit la base canonique de . Déterminer .
  3. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur et pour que soit bijective.
  4. On suppose, dans cette question seulement, que .
    (a). Démontrer que la famille est une base de .
    (b). Calculer et puis déduire .
    (c). Déterminer la matrice de passage de la base à la base , notée . Déterminer de même la matrice de passage de la base à la base , notée .
    (d). Donner, sans démonstration, une égalité reliant les matrices et .
    (e). Soit . Calculer puis en déduire, grâce à la question 4.(d), une expression de (on donnera l'expression de chacun des coefficients de cette matrice).
  5. On s'intéresse dans cette question à l'ensemble .
    (a). Démontrer que est un sous-espace vectoriel de .
    (b). Prouver que les matrices et sont des combinaisons linéaires de et .
    (c). Déterminer une base de .
  6. On suppose dans cette question que et . En utilisant les résultats de la question 5.(b), déterminer l'application . En déduire la nature de et préciser ses éléments caractéristiques (on donnera une base de chacun des deux espaces vectoriels concernés).

Partie B : Quelques généralités sur

  1. Démontrer que est un endomorphisme de .
  2. On se propose dans cette question de déterminer .
On pose et on considère l'intervalle .
(a). Démontrer que la fonction est continue sur .
(b). Déterminer une primitive de la fonction sur .
(c). Résoudre sur l'intervalle l'équation différentielle :
(d). On suppose que est pair et on écrit avec . Déduire de la question 8.(c) une base de l'espace vectoriel .
(e). On suppose maintenant que est impair et on écrit avec . Déduire de la question 8.(c) une base de l'espace vectoriel ) (On pourra discuter suivant les valeurs de et ).

Partie C : Intersections de courbes dans le cas où

Dans toute cette partie, on suppose que et .
On munit le plan d'un repère orthonormal avec .
9. Calculer et . Dans toute la suite, on désigne par et les fonctions polynômiales associées respectivement aux polynômes et . On note et les courbes représentatives de ces deux fonctions.
10. (a). Montrer que les courbes et admettent exactement deux points d'intersection: les points et dont les coordonnées cartésiennes dans sont respectivement et .
(b). Démontrer que, lorsque varie dans , tous les points appartiennent à un même ensemble (indépendant de ) dont on précisera une équation cartésienne.
(c). Montrer que l'ensemble est une conique dont on précisera (en le justifiant) la nature (aucune autre information n'est demandée sur ).
(d). Après une rapide étude, tracer l'allure de la courbe dans .

SECOND PROBLÈME

On considère dans tout ce problème les deux fonctions et définies sur par :

Partie A : Etudes de deux fonctions

  1. (a). Montrer que les fonctions et sont continues sur .
    (b). Montrer que et sont prolongeables par continuité en 0 . On notera encore et ces prolongements.
  2. (a). Montrer que les fonctions et sont dérivables sur et calculer leurs dérivées.
    (b). Démontrer, à l'aide de développements limités, que les fonctions et sont dérivables en 0 . Préciser les valeurs de et .
  3. (a). Montrer que les réels strictement positifs tels que constituent une suite strictement croissante. On donnera explicitement la valeur de .
    (b). Montrer que les réels strictement positifs tels que constituent une suite strictement croissante. Y-a-t'il un lien entre les suites et ?
  4. (a). Soit . Montrer sans calcul qu'il existe un réel tel que .
    (b). Montrer que la fonction est de même signe que sur .
    (c). Démontrer que pour tout , la fonction est strictement monotone sur .
    (d). En déduire l'unicité du réel défini dans la question 4.(a).
    (e). Etablir que: .
    (f). Calculer puis déterminer un équivalent simple de la suite .
  5. Tracer l'allure de la courbe représentative de la fonction lorsque l'abscisse varie dans . On se placera dans un repère orthogonal tel que et . On fera apparaître clairement les tangentes horizontales à la courbe et on précisera les abscisses des points d'intersection de avec l'axe ( ).

Partie B : Deux fonctions définies par des intégrales

Dans toute cette partie, E désigne l'ensemble des fonctions de classe sur . Si appartient à , on pose, pour tout :
Soit une fonction appartenant à .
6. Soit . Justifier que les deux réels et sont bien définis.
On dispose donc de deux fonctions et définies sur .
7. Déterminer la parité des fonctions et .
8. On se propose de calculer dans cette question les limites de et en et en .
(a). Etablir que: .
(b). Expliquer rapidement pourquoi les fonctions et sont bornées sur .
On posera par la suite et .
(c). En déduire qu'il existe tel que .
(d). A l'aide de la question 8.(c), calculer .
En déduire et .
(e). En utilisant une propriété obtenue sur les fonctions et , calculer et .
9. L'objectif de cette question est de prouver que les fonctions et sont continues sur .
(a). Soient et deux réels. Rappeler la formule liant à et .
(b). Démontrer que: (on pourra par exemple utiliser l'inégalité des accroissements finis).
(c). Soient et deux réels. Etablir que : .
(d). En déduire que la fonction est continue sur .
Par un raisonnement analogue, on pourrait démontrer que la fonction est continue sur mais ce n'est pas demandé ici.
10. A l'aide d'une fonction judicieusement choisie, établir un lien entre les fonctions et de la partie A , et les fonctions et de la partie B.
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