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Petites Mines Mathématiques (MPSI) Sup 2009

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GéométrieFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Equations différentiellesAlgèbre linéairePolynômes et fractions
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2009
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SUP
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Maths
Autres SUPAutres 2009SUP MathsMaths 2009
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CONCOURS COMMUN 2009
DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve de Mathématiques
(toutes filières)

Lundi 18 mai 2009 de 14 h 00 à 18 h 00

Instructions générales :

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées .
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspondant à l'épreuve commune de Mathématiques.

L'emploi d'une calculatrice est interdit

Remarque importante :

Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Problème I : Algèbre et Géométrie

A. Etude de deux applications

La notation désigne le -espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2 . On identifiera dans la suite de ce problème les éléments de et leurs fonctions polynomiales associées. On note la base canonique de . On définit les deux applications suivantes:
et
On rappelle aussi que l'on note , et pour tout .
  1. Vérifier que est bien à valeurs dans et montrer que est linéaire.
  2. Montrer que est linéaire.
  3. Ecrire la matrice de dans la base de , en indiquant les calculs intermédiaires.
  4. L'application est-elle injective? surjective?
  5. Déterminer une base de . Quelle est la dimension de ?
  6. L'application est-elle injective? surjective?

B. Calcul des puissances successives d'une matrice

On note la matrice identité de et la matrice
Enfin, on note la famille de définie par
  1. Justifier que la famille est une base de .
  2. Ecrire la matrice de passage de à .
  3. Justifier que est inversible et calculer son inverse.
  4. Ecrire la matrice de dans la base en donnant les calculs intermédiaires.
  5. Calculer pour tout . On explicitera les neuf coefficients de .
  6. Pour et avec , déterminer en fonction de .
  7. En déduire que

C. Une autre preuve du résultat précédent

  1. A l'aide d'un raisonnement par récurrence, démontrer que
  1. En déduire, en utilisant un résultat du cours d'analyse que l'on énoncera avec précision, que

D. Etude d'une famille de sphères et d'une famille de droites

L'espace affine usuel est rapporté à un repère orthonormé direct . Les différentes équations qui apparaissent dans la partie D . sont relatives au repère . Pour tout réel, on considère l'ensemble d'équation cartésienne
On appelle aussi l'ensemble des points de l'espace vérifiant l'équation
On note enfin le plan d'équation , c'est-à-dire le plan ( ).
16. Démontrer que, pour tout réel, est une sphère dont on déterminera le centre et le rayon.
17. Montrer que l'intersection de et de est une conique , dont on déterminera la nature et les asymptotes éventuelles.
18. Représenter dans le plan la conique .
19. Donner l'excentricité ainsi que les coordonnées du ou des foyer(s) dans le repère de la conique .
20. Pour tout , on définit la droite ayant pour système d'équations cartésiennes
Pour tout , déterminer un point et un vecteur directeur de la droite ( ). On choisira un vecteur directeur dont la troisième coordonnée est égale à 1.
21. Soient et deux réels quelconques. Prouver que la droite ( ) est tangente à la sphère .
22. Montrer que pour tout , la droite est incluse dans .
23. Réciproquement, montrer que si est un point de l'ensemble de coordonnées ( ) dans le repère , alors il existe tel que appartienne à la droite ( ).
24. Que peut-on déduire des deux questions précédentes?

Problème II : Analyse

Dans tout ce problème, on notera sh la fonction sinus hyperbolique, ch la fonction cosinus hyperbolique et th la fonction tangente hyperbolique.

A. Etude d'une fonction

Soit la fonction définie sur par .
  1. Etudier la parité de .
  2. (a) Rappeler un équivalent de la fonction sh en 0 et en déduire les limites de en et en .
    (b) Déterminer la limite de en 0 .
  3. Justifier que est dérivable sur et que pour tout ,
  1. Montrer que, pour tout .
  2. En déduire le tableau de variations de .
  3. Donner le développement limité à l'ordre 4 en 0 de la fonction .
  4. En déduire qu'au voisinage de et de admet un développement de la forme
où sont cinq réels que l'on précisera.
8. Montrer que la fonction se prolonge sur en une fonction continue notée , puis prouver que est dérivable sur .

B. Tracé d'une courbe paramétrée

On s'intéresse à l'arc paramétré défini pour par les équations
On note son support. On donne la valeur approchée à près.
9. Dresser le tableau des variations des fonctions et sur , en précisant les limites.
10. Déterminer les asymptotes de et préciser la position de par rapport à chacune de ses asymptotes. On résumera l'étude à l'aide de schémas.
11. Tracer l'allure de , ainsi que ses asymptotes et la tangente à au point de paramètre . On prendra 2 cm comme unité en abscisses et en ordonnées.

C. Une équation différentielle

On considère l'équation différentielle ( ) suivante, que l'on va résoudre sur différents intervalles
  1. Résoudre sur l'intervalle l'équation différentielle .
  2. Donner sans justification les solutions de l'équation différentielle ( ) sur l'intervalle .
  3. Justifier que la fonction (définie dans la question A.8.) est l'unique fonction définie et dérivable sur qui soit solution de l'équation différentielle sur .

D. Etude d'une suite

  1. Montrer que pour , l'équation
admet une unique solution dans . On la note .
On définit ainsi une suite que l'on va étudier dans les questions qui suivent.
16. Montrer que la suite est croissante.
17. Montrer que la suite tend vers quand tend vers .
18. En utilisant la question A.7., déterminer un équivalent de quand tend vers .

E. Une fonction définie par une intégrale

Pour , on pose .
19. Montrer que pour tout .
20. Justifier que est dérivable sur et que pour tout ,
  1. En déduire le signe de sur ; on exprimera le (ou les) zéro(s) de à l'aide de la fonction ln.
  2. On admet les résultats suivants:
    () ,
    (    ) et admet au voisinage de une asymptote d'équation ,
    (*) la courbe représentative de est toujours "au dessus" de l'asymptote précédente.
    Donner le tableau de variations de sur .
  3. Tracer l'allure de la courbe représentative de .
On donne pour le tracé et à près.

Fin du sujet

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