Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend : 4 pages numérotées et .
Les candidats sont invités à porter unc attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspondante.

Les parties et sont indépendantes, nais sont utilisées par la partie .

Pour tout réel a positif ou nul, on note la fonction définie sur par .
A.1. Montrer que la fonction est prolongeable par continuité en 0 (on notera toujours la fonction ainsi prolongée, qui est donc définie et continue sur ). Préciser la valeur de . Montrer que la fonction est de classe sur pour .

Soient et deux réels positifs ou nuls. On pose

A.2. Justifier l'existence de l'intégrale . Comparer et .

On écrira abusivement .
A.3. Soient et deux réels positifs ou nuls. Trouver une relation entre et .
A.4. Calculer . En déduire que, pour tout entier naturel , on a

A.5. Soient et deux entiers naturels. Exprimer à l'aide de factorielles.
A.6. En déduire la valeur de l'intégrale

où et sont deux entiers naturels.

Pour tout réel strictement positif, on note la fonction définie par

B.1. Préciser l'ensemble de définition de .

On note la courbe représentant la restriction de la fonction à l'intervalle .
B.2. Si et sont deux réels tels que , démontrer l'encadrement

B.3. En déduire les variations de la fonction sur l'intervalle (on dressera un tableau de variations). Préciser la nature des branches infinies de la courbe .
B.4. Donner l'allure des courbes et sur un même schéma.
B.5. On fixe et on considère la suite définie, pour tout entier naturel tel que , par .
Etudier le comportement (sens de variation, limite) de la suite ( ).

Pour tout réel positif ou nul et tout entier naturel non nul , on pose

C.1. Montrer que .
C.2. En utilisant les résultats de la partie , montrer que, pour tout fixé, la suite est croissante.
C.3. On fixe .
a. Montrer l'existence d'un réel strictement positif tel que

b. En déduire que, pour tout entier naturel non nul , on a

c. Montrer que la suite est convergente.

Pour tout réel positif ou nul , on pose .
C.4. Démontrer la relation fonctionnelle

En déduire la valeur de pour entier naturel.

Les parties et sont liées, mais la partie est indépendante du reste du problène.
On rappelle que, si est un entier naturel non nul, la notation représente l'algèbre des matrices carrées d'ordre à coefficients réels.

Soit un entier naturel non nul. Une matrice de est dite nilpotente d'indice trois si elle vérifie et .
Dans toute cette partie, on note une matrice de , nilpotente d'indice trois. On note la matrice-unité d'ordre .
Pour tout réel , on note la matrice

A.1. Vérifier la relation

A.2. En déduire que pour et .
A.3. Montrer que la matrice est inversible. Quel est son inverse ?
A.4. Montrer que la famille ( ) est libre dans l'espace vectoriel .
A.5. En déduire que l'application , de vers , est injective.
A.6. Dans cette question, et . Expliciter la matrice sous la forme d'un tableau matriciel pour .

Dans cette partie, on note la base canonique de . Soit la matrice appartenant à . On note l'endomorphisme de qui lui est canoniquement associé.
B.1. Montrer que et sont deux droites vectorielles, supplémentaires dans . Préciser un vecteur directeur de , et un vecteur directeur de .
B.2. Sans calculs, déterminer la matrice de l'endomorphisme de dans la base .
B.3. En déduire qu'il existe une matrice inversible et une matrice diagonale (toutes deux carrées d'ordre deux) telles que . Expliciter et .
B.4. Expliciter pour tout enticr naturel. Démontrer la rclation . En déduire l'expression de sous forme de tableau matriciel.

On reprend les notations de la partie .
C.1. En utilisant l'inégalité de Taylor-Lagrange, montrer que, pour tout réel , on a

On pourra admettre le résultat de cette question pour traiter les suivantes.
C.2. Pour tout réel , pour tout entier naturel , on note la matrice définie par . On écrira cette matrice sous la forme . Expliciter (sous forme de sommes) ses coefficients .
C.3. Pour tout , on note la matrice , avec , etc. Expliciter la matrice .
Réponse partielle : on obtient .
C.4. Montrer qu'il existe deux matrices et (carrées d'ordre deux) telles que

et expliciter et .
C.5. Calculer les matrices . Que peut-on dire des endomorphismes et de canoniquement associés aux matrices et (on pourra préciser la réponse en utilisant les droites et de la question B.1.)?
C.6. En déduire que

Que dire de pour ?, de ?
L'application , de vers , est-elle injective ?