Petites Mines Mathématiques Sup 2005

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées .
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspondante.

Les quatre parties de ce problème sont totalement indépendantes entre elles.
Dans tout ce problème, on se place dans l'espace usuel muni d'un repère orthonormé direct . On note l'ensemble des points de l'espace et l'ensemble des vecteurs de l'espace. Les différentes coordonnées et équations qui apparaissent dans l'énoncé sont relatives au repère .

Si , on pourra aussi noter .
Si et sont trois réels fixés et si et sont trois vecteurs fixés de , on note l'application linéaire de dans définie pour tout vecteur de par

On note la droite passant par dirigée par la droite d'équations , le plan d'équation et enfin, pour tout réel est le plan d'équation .

A - 1) Donner un vecteur normal de ainsi qu'un point et un vecteur directeur de .
Vérifier que tous les plans contiennent la droite .
A - 2) Calculer . En déduire que n'est pas orthogonale à . On appelle alors l'unique plan contenant et perpendiculaire à . Obtenir une équation cartésienne de .

A - 3) Déterminer, pour tout réel , les coordonnées dans de point d'intersection des plans et .

A - 4) On note ( ) d'équation et le point de de coordonnées .
Préciser la nature géométrique de ( ) ainsi que les éléments géométriques qui le caractérisent.

A - 5) Vérifier que appartient à ( ) puis que appartient à un cercle dont on donnera le centre et le rayon.

A - 6) Déterminer l'ensemble des points de par lesquels passe un et un seul plan .
Quelle est la réunion des plans lorsque décrit ?

Dans cette partie B, on prend et .
B-1) Vérifier que où l'on exprimera et en fonction de et .
B-2) Déterminer une base et la dimension du noyau de est-il un automorphisme de ?
B - 3) Enoncer complètement le théorème du rang. Obtenir le rang de .
B-4) Montrer, dans le cas général, que si est une application linéaire définie sur le -espace vectoriel où est engendré par les vecteurs et , alors l'image de est le -espace vectoriel engendré par les vecteurs et .

B - 5) Déterminer une base de l'image de .
B-6) Montrer que est une base de .
Obtenir ensuite la matrice de dans .
B-7) Sachant que la matrice de passage de la base à la base est l'une des deux matrices suivantes :

préciser, en argumentant votre choix, laquelle est .
Donner le lien matriciel reliant à .

Dans cette partie , on prend et .
On admet qu' alors est la matrice de dans la base .
On rappelle que, par convention, on note .
C-1) Prouver, par récurrence sur , que pour tout entier naturel , on peut trouver deux réels (qu'on notera et ) tels que

On obtiendra ainsi les relations définissant et en fonction de et de .
C-2) En utilisant les relations précédemment trouvées, vérifier que .
- 3) En déduire la valeur de puis celle de en fonction de .

C-4) Vérifier que est combinaison linéaire de et de la matrice .
En déduire que est inversible et expliciter les coefficients de la matrice .

Dans cette partie , on prend . On renomme alors l'application de l'introduction, soit

où et sont deux vecteurs non nuls fixés de et où est un réel non nul.
D - 1) Vérifier que si , alors est un projecteur.
Démontrer ensuite que si est un projecteur, alors .
D - 2) On suppose que . On note et . Vérifier que et sont supplémentaires dans (l'écriture pourra être utile).
Sur quel espace vectoriel parallèlement à quel autre est-elle alors la projection ?
D - 3) A l'aide des deux questions précédentes, trouver la matrice dans la base de la projection sur parallèlement à la droite engendrée par .

A - Etude de la fonction telle que si et sinon
A - 1) Obtenir l'ensemble de définition de .
A - 2) est-elle dérivable en 0 ?
A - 3) Justifier que est de classe sur .
A - 4) Dresser le tableau de variations de .
On y fera apparaître les différentes limites et la valeur de .
- Etude de la suite telle que et
B-1) Montrer que .
B-2) Justifier que la suite converge et déterminer sa limite.
B - 3) Montrer que .
B-4) Enoncer l'inégalité des accroissements finis.
B - 5) Montrer que .
B-6) Sachant que , déterminer un entier à partir duquel est une valeur approchée de à près.

C-1) On admet que, sur avec . Etudier les variations de .

C-2) Déterminer la limite de en 1 .
C - 3) Déterminer la position relative de la courbe représentative de par rapport à celle de . Déterminer l'aire du domaine plan délimité par les courbes représentatives de et de ainsi que par les droites d'équation et .

On considère la courbe donnée par le paramétrage pour décrivant .
D-1) Déterminer les asymptotes de ( ) ainsi que la position relative de ( ) par rapport à celles-ci.
D - 2) Tracer la courbe ( ) en précisant la tangente au point de paramètre .

On .
On recherche les fonctions solutions de sur et qui ne s'annulent pas sur .
E - 1) On pose . Vérifier que est solution sur d'une équation différentielle linéaire du premier ordre ( ) .
E - 2) Résoudre ( ) sur . On vérifiera ensuite que ces solutions sont de la forme . Vérifier que, pour ne s'annule pas sur . On a donc ainsi .
E - 3) Pour , on note la courbe représentative de la fonction .
Montrer que ( ) est l'image de ( ) par une homothétie de centre 0 dont on précisera le rapport.

On pose .
F - 1) Déterminer l'ensemble de définition de .
F-2) Etudier la limite de en 0.
F - 3) Justifier qu'il existe un réel dans tel que

En déduire la limite de à gauche en 1 .