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X ENS Mathématiques A MP 2015

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RéductionPolynômes et fractionsTopologie/EVNAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensGéométrie
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X-ENS
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2015
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MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2015MP MathsMaths 2015
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ÉCOLE POLYTECHNIQUE - ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - A - (XLCR)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Pour , l'espace des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à est noté . Étant donnés deux polynômes non nuls et à coefficients réels, leur plus grand commun diviseur (pgcd) unitaire est noté .
Si est un second entier, désigne l'espace vectoriel des matrices à lignes et colonnes à coefficients complexes. La notation signifie que le coefficient à la ligne et colonne de la matrice est . On note plus simplement , dont la matrice identité est . Le polynôme caractéristique de est défini par
Le polynôme caractéristique est donc unitaire.
Pour désigne la matrice transposée. On rappelle qu'une matrice carrée est symétrique si , orthogonale si . On notera (respectivement ) l'ensemble des matrices symétriques (resp. orthogonales) de taille . Étant donné un -uplet de nombres réels,
désigne la matrice diagonale associée.
Si , son spectre est réel. On convient de ranger ses valeurs propres (comptées avec leurs ordres de multiplicité) dans l'ordre décroissant . On note alors , qui est donc un -uplet ordonné.
Un -uplet et un -uplet , ordonnés, sont dit enlacés si pour tout . Ils sont strictement enlacés si pour tout . Par exemple, et sont strictement enlacés.

Questions préliminaires

  1. (a) Montrer que est un sous-groupe du groupe des matrices inversibles.
    (b) Montrer que est une partie compacte de .
  2. Soit et dans . Montrer qu'il existe tel que , si et seulement si .
  3. Soit et . Soit . Formons
en choisissant l'entier convenablement. Si , on a donc , tandis que si , on a . On forme de même
On suppose que et sont enlacés. Montrer que . En examinant chacun des deux cas ou , montrer que et sont enlacés.

1 Première Partie

Soit .
4. On définit les polynômes
(a) Montrer que la famille est une base de .
(b) Soit . Vérifier que .
5. Soit un polynôme unitaire de degré .
(a) Montrer qu'il existe un unique vecteur tel que
(b) On suppose que les nombres réels sont tous strictement positifs. Montrer que a racines réelles distinctes , et que et sont strictement enlacés.
(c) Réciproquement, on suppose que a racines réelles distinctes , et que et sont strictement enlacés. Montrer que, pour tout .
6. On se donne des entiers pour . On pose
Montrer que
  1. Soit et soit défini par la formule
(a) Donner une expression de en fonction des , des et de l'ensemble indices pour lesquels .
(b) On suppose que les nombres sont positifs ou nuls.
Montrer que les racines de sont toutes réelles.
On admettra par la suite que, dans ce cas le plus général, le -uplet des racines de et le -uplet des racines de sont enlacés.

2 Deuxième Partie

  1. Soit et deux entiers naturels non nuls. Soit et . On suppose de plus que est inversible. On considère la matrice ayant la forme par blocs suivante
Trouver deux matrices et telles que
et en déduire que
On pourra admettre par la suite que cette formule reste vraie lorsque et ses blocs sont à coefficients dans le corps des fractions rationnelles.
9. Soit une matrice symétrique. On écrit sous la forme par blocs
avec et .
(a) Si le spectre de est , montrer qu'il existe et tels que
(b) En déduire qu'il existe des nombres réels positifs ou nuls (pour ) tels que
ù
(c) Montrer que et sont enlacés.
10. Pour , on note la matrice extraite de taille dont les coefficients sont les pour . Soit . Montrer que l'ensemble
noté , est une partie compacte de .
11. On suppose de plus que les valeurs propres de sont distinctes. On a donc .
(a) Soit tel que et soient strictement enlacés. Montrer que appartient à .
(b) Montrer que
é

3 Troisième Partie

On considère l'application
Soit . Dans cette partie, on se propose d'étudier l'ensemble suivant
  1. On étudie d'abord le cas . On note alors .
Montrer que est le segment de dont les extrémités sont ( ) et ( ).
13. Soit . On note . On se propose de démontrer que, pour tout , on a :
(a) Que pensez-vous du cas ?
(b) Exprimer au moyen des valeurs propres de la matrice obtenue en supprimant la dernière ligne et la dernière colonne de . En déduire l'inégalité (3) lorsque .
(c) En procédant par récurrence sur , montrer l'inégalité ( 3 ), pour tout .

4 Quatrième Partie

  1. On note l'espace vectoriel muni du produit scalaire standard et de la base canonique . On définit une base de par et .
    (a) Soit la symétrie orthogonale par rapport à la droite . Montrer que la matrice de dans la base est .
    (b) Soit la symétrie orthogonale par rapport à la droite . Montrer que la matrice de dans la base est .
  2. Soit l'ensemble des vecteurs tels que . On note le sous-ensemble des tels que . On considère l'application
(a) Montrer que est un isomorphisme linéaire. Décrire .
(b) Montrer que, pour tout , on a
(c) Soit tel que . On note l'ensemble des tels que et . Montrer que est un quadrilatère dont on décrira les sommets.
16. Soit une matrice de trace nulle. On note . On se propose de décrire .
(a) Soit . Soit une permutation de . Montrer que si et seulement si .
(b) En utilisant la question 13, montrer que l'intersection est incluse dans .
(c) Soit . Montrer que le segment de dont les sommets sont ( ) et ( ) est inclus dans . On pourra utiliser la question 12.
De même, montrer que le segment de dont les sommets sont et est inclus dans .
(d) Montrer que contient .
(e) Montrer que si alors est un hexagone, dont on déterminera les sommets.
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