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X ENS Mathématiques A MP 2017

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Polynômes et fractionsRéductionAlgèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensTopologie/EVN
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X-ENS
Année
2017
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2017MP MathsMaths 2017
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COMPOSITION DE MATHEMATIQUES - A - (XLCR)

(Duré: 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Dans tout le problème
  • est un -espace vectoriel de dimension finie ,
  • Id est l'application identité sur pour tout ,
  • L (E) est l'algèbre des endomorphismes de E,
  • GL est le groupe des automorphismes de ,
  • est l'espace vectoriel des formes linéaires sur ,
  • A(E) est l'espace vectoriel des applications qui sont bilinéaires et antisymétriques, c'est-à-dire qui vérifient, quel que soit et quel que soit ,
Pour tout et , on note la forme linéaire définie par
Pour tout , on note l'application linéaire définie par
Un élément de est appelé forme symplectique sur si est un isomorphisme de sur .
Un élément de est appelé structure complexe sur s'il vérifie .
On dit qu'une forme symplectique sur dompte une structure complexe si pour tout .
On note
  • l'algèbre des matrices carrées de taille à coefficients réels,
  • le groupe des matrices inversibles de taille à coefficients réels,
  • la matrice unité de taille ,
  • lorsque est pair, la matrice carrée de taille définie par blocs
  • det l'application déterminant sur ,
  • la transposée de la matrice .
On identifie tout élément de à un nombre réel.
La partie I est utilisée dans les parties III et IV. Les parties II et III indépendantes entre elles, sont utilisées dans la partie IV.

Partie I: Bases symplectiques

  1. Montrer que la dimension de l'espace vectoriel vaut .
  2. Montrer que pour tout et pour tout .
  3. Soit et une base de .
    (a) Montrer qu'il existe une unique matrice , dont on précisera les coefficients, telle que pour tout où sont les matrices colonnes représentant respectivement et dans la base :
On notera alors .
(b) Montrer que est antisymétrique, c'est-à-dire que .
(c) Montrer que l'espace vectoriel est de dimension 1 lorsque est de dimension 2.
(d) Montrer l'équivalence entre les trois énoncés suivants.
est une forme symplectique sur .
Pour tout , il existe tel que .
est inversible.
4. Montrer que, s'il existe une forme symplectique sur , alors est de dimension paire.
Dorénavant, jusqu'à la fin du problème, est un entier pair .
5. Montrer que l'application définie par
est une forme symplectique sur .
Jusqu'à la fin de cette partie, on fixe une forme symplectique sur .
Le but des questions 6 à 9 est de montrer qu'il existe une base de telle que .
6. Traiter le cas où est de dimension 2 .
7. Soit un sous-espace vectoriel de .
(a) Montrer que, pour toute forme linéaire , il existe une forme linéaire dont la restriction à coïncide avec .
On note le sous-espace vectoriel de défini par
et l'application linéaire définie par
où est la restriction de à .
(b) Montrer que la restriction de à est une forme symplectique sur si et seulement si .
(c) Quels sont le noyau et l'image de ?
(d) Montrer que .
(e) Montrer que, si la restriction de à est une forme symplectique sur , alors et la restriction de à est une forme symplectique sur .
8. Montrer par récurrence qu'il existe une base de telle que
  1. Conclure. En déduire que dompte au moins une structure complexe sur .

Partie II: Deux outils sur les polynômes

On note l'espace vectoriel des polynômes de degré à coefficients réels, pour tout .
10. Soit des polynômes non nuls de degrés respectifs et strictement positifs. Montrer que l'application linéaire définie par
est un isomorphisme si et seulement si et sont premiers entre eux dans .
11. Soit . Construire une application
polynomiale en les coefficients de , telle que, si est non nul, alors les racines de dans sont simples.
Indication: On pourra utiliser la question précédente.
12. Soit et une fonction polynomiale sur . On suppose que la fonction est non nulle. Montrer que est dense dans .
Indication: On pourra utiliser le fait qu'un polynôme non nul à une variable n'a qu'un nombre fini de racines.
Dans les parties III et IV, on fixe deux formes symplectiques et sur .

Partie III: Réduction simultanée

  1. Montrer qu'il existe un unique tel que pour tout . Montrer alors que appartient à l'ensemble défini par
Dans les questions 14 à 19, on suppose que est de dimension 4.
14. Soit une base de telle que . Soit la matrice de dans la base .
(a) Quelle relation y a-t-il entre les matrices et ?
(b) Montrer qu'il existe et tels que
(c) Déterminer, en fonction de et les coefficients du polynôme défini par . Montrer que est un polynôme annulateur de .
Dans les questions 15 à 19, on suppose que u n'admet aucune valeur propre réelle.
Le but des questions 15 à 19 est de montrer qu'il existe une base de et tels que
où .
15. Montrer que est diagonalisable sur . En déduire qu'il existe et des vecteurs et de linéairement indépendants sur tels que et .
16. Soient des vecteurs de tels que et . Soient de coordonnées respectives dans la base . Montrer que est une base de .
17. Montrer que
  1. Montrer que, quitte à remplacer par avec bien choisi, on a et .
  2. Montrer qu'il existe et tels que
et conclure.
Jusqu'à la fin de cette partie, on ne fait plus d'hypothèse sur la dimension de ni sur l'endomorphisme . On considère un polynôme annulateur de et une décomposition , où et sont des polynômes premiers entre eux deux à deux dans . On note pour .
20. Montrer que et que est stable par pour .
21. Montrer que, pour tous et appartenant à et distincts, on a et (la notation est définie en question 7 ).
On dit alors que sont deux à deux orthogonaux pour et pour .
22. En déduire que, pour tout , les restrictions de et à sont des formes symplectiques sur .
23. On suppose que le polynôme caractéristique de est à racines au plus doubles dans . Montrer que est la somme directe de sous-espaces de dimension 2 ou 4 , deux à deux orthogonaux pour et , et sur lesquels les restrictions de et sont des formes symplectiques.

Partie IV: Structures complexes domptées simultanément

Dans cette partie, nous allons étudier les liens entre les propositions
( ) : Il existe une structure complexe domptée par et par .
Le segment est inclus dans l'ensemble des formes symplectiques sur .
24. Soit l'automorphisme de E défini en question 13 . On suppose que est satisfaite et que le polynôme caractéristique de est à racines au plus doubles dans . Montrer que ( ) est satisfaite.
Indication: On pourra démontrer puis utiliser le fait que, pour tout , il existe tel que, pour tout et .
25. Soit l'ensemble défini en question 13. Montrer que l'ensemble des éléments de , dont le polynôme caractéristique est à racines au plus doubles dans , est dense dans .
Indication: On pourra utiliser où l'application est définie en question 11.
26. Que peut-on conclure?
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