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X ENS Mathématiques A MP 2018

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensRéductionGéométrieFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Banque
X-ENS
Année
2018
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2018MP MathsMaths 2018
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COMPOSITION DE MATHEMATIQUES - A - (XLCR)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Pour tous entiers , on notera l'ensemble des matrices à coefficients réels ayant lignes et colonnes. Lorsque , on notera l'ensemble des matrices carrées de taille . Par ailleurs :
  • Pour toute matrice , on notera la transposée de .
  • On notera la matrice nulle de dont tous les coefficients sont nuls. Lorsque désignera la matrice nulle et la matrice identité de .
  • Pour toute famille de réels, on notera la matrice diagonale de dont les coefficients diagonaux sont .
  • Pour tous , on notera où désigne la trace de pour toute matrice carrée à coefficients dans et . On pourra utiliser sans démonstration que définit un produit scalaire sur et que muni de la norme est un espace vectoriel normé de dimension .
  • Pour toute matrice , on notera le rang de la matrice c'est-à-dire la dimension de l'image de . On rappelle que .
  • Pour tout , on note l'ensemble des matrices telles que .
Pour , on munit de sa structure euclidienne canonique et pour tout vecteur , on notera la norme euclidienne de .

Préliminaire

Soient trois entiers strictement positifs. Soient et .
  1. Donner l'expression de en fonction des coefficients de et .
  2. Soit . Montrer que .
  3. Montrer que .

Première partie

On considère trois entiers et strictement positifs tels que soit non vide. Soit une matrice de .
4. Montrer que et que pour tout .
5. Soient et .
(a) Vérifier que est une matrice symétrique qui n'admet que des valeurs propres positives puis montrer que .
(b) Soit un vecteur propre de pour une valeur propre et soit . Montrer que est un vecteur propre de pour la valeur propre et .
6. (a) Montrer qu'il existe et telles que avec et .
(b) Montrer que et que est la matrice de la projection orthogonale sur dans .
(c) En posant où , montrer que et .
7. En déduire que
.

Deuxième partie

Dans cette partie, on s'intéresse à la meilleure approximation, pour la norme , d'une matrice de rang par une matrice de rang fixé. Cette partie est indépendante des parties suivantes.
Soit une matrice de rang où et sont des entiers strictement positifs, . On considère la décomposition construite dans la première partie. Soient et tels que et . On note la famille des colonnes de et celle des colonnes de .
8. (a) Vérifier que .
(b) Montrer que
où désigne le produit scalaire usuel sur .
9. On suppose ici que .
(a) Pour tout et tout , on pose et .
Montrer que les et sont des réels positifs et que l'on a .
(b) Montrer que et que l'on a l'égalité si et seulement si on a où désigne le sous-espace vectoriel engendré .
(c) Soit . Montrer que avec égalité si et seulement si où (resp. ) est la matrice formée des premières colonnes de (resp. de ).

Troisième partie

Soient deux entiers strictement positifs et tel que . Pour tout , on note la matrice de définie par blocs par
  1. On suppose ici que est une matrice inversible.
    (a) Montrer que est inversible. On notera son inverse .
    (b) Montrer que l'orthogonal de et sont deux sous-espaces supplémentaires dans i.e. .
    Indication : On pourra commencer par vérifier que pour , si alors .
    (c) On définit la matrice
Montrer que est la matrice de la projection sur parallèlement à .
11. Soit . Montrer que l'ensemble des matrices inversibles de est un ouvert et que l'application est continue sur cet ouvert.
12. Montrer qu'il existe un voisinage de dans tel que est inversible pour tout et l'application est continue de dans .

Quatrième partie

Soient et trois entiers strictement positifs tels que . On définit pour toute la suite l'espace vectoriel
Soient une matrice de rang et tels que
et diagonale à coefficients diagonaux strictement positifs (l'existence de ( ) a été montrée dans la première partie).
13. Soient . On considère la courbe définie par .
(a) Montrer que les fonctions et sont constantes au voisinage de .
(b) En déduire que au voisinage de .
(c) Montrer que est indéfiniment dérivable sur et donner l'expression de la dérivée de en 0.
14. On note .
(a) Vérifier que tous les éléments de sont des vecteurs tangents à en et que est un sous-espace vectoriel de dont on donnera la dimension.
(b) Soit . Montrer que est le sous-espace orthogonal à dans pour le produit scalaire .
15. Soit . On dit que vérifie la condition (C) si
(a) Montrer que si vérifie la condition (C) alors et
(b) Montrer qu'il existe tel que pour tout , la matrice vérifie la condition (C) dès que .
16. Soit définie pour tout .
(a) Identifier en fonction de introduit à la question (14b).
(b) On note la projection orthogonale sur dans . Montrer que .
(c) Soit vérifiant la condition (C). On note . Montrer que si est la matrice de la projection sur parallèlement à alors
  1. En déduire qu'il existe tel que la restriction de à est injective où est la boule ouverte de centrée en et de rayon .
  2. Soit la projection orthogonale sur dans .
    (a) Montrer pour tout , on a .
    (b) Montrer que pour tout .
Soit vérifiant la condition (C).
(c) Montrer que si
(d) En déduire que .
19. Montrer que est exactement l'ensemble des vecteurs tangents à en .
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