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X ENS Mathématiques A MP 2022

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensTopologie/EVNFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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X-ENS
Année
2022
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2022MP MathsMaths 2022
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ECOLE POLYTECHNIQUE ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2022

LUNDI 25 AVRIL 2022
08h00-12h00
FILIERE MP - Epreuve
MATHEMATIQUES A (XLSR)

- Notations et rappels

  • Dans tout le problème, désigne un entier strictement positif.
  • On note l'ensemble des entiers naturels. Pour tous entiers et dans tels que , on note .
On note le groupe des permutations de l'ensemble fini muni de la composition.
On note l'application signature, définie comme l'unique morphisme de groupes de dans qui vaut -1 sur toutes les transpositions.
  • On note le -espace vectoriel des matrices carrées de taille .
Pour tout , on appelle produit mixte de ( ) la quantité
où pour tout , on a noté . En particulier, si on note la matrice de taille élément de dont les colonnes sont données par les vecteurs , on a donc l'égalité où det est le déterminant usuel.
  • Si et sont deux -espaces vectoriels, on dit que est -linéaire alternée si pour tout et tout , l'application
de dans est linéaire et pour tout on a
où .
On notera l'ensemble des applications -linéaires alternées de dans .
  • Dans tout le problème, on considère un espace euclidien de dimension muni de son produit scalaire . On note pour la norme associée.
  • Pour tout entier non nul, et toute famille ( ) d'éléments de désigne le sous-espace vectoriel de engendré par .
  • Pour tous et dans , on note , la matrice carrée de définie pour tous par

- Partie I

Soient et deux sous-espaces de de dimension (on rappelle que ).
(1) (a) Montrer qu'il existe et de norme 1 tels que
(b) Étendre ce résultat en montrant qu'il existe une famille de vecteurs de et une famille de vecteurs de telles que et soient orthonormées et vérifient les deux conditions suivantes :
(i) Pour , on a
(ii) Pour , on a
(Indication : On pourra construire les vecteurs et par récurrence sur l'entier .)
On fixe deux telles familles et dans le reste de la partie I.
(2) Montrer que si , on a pour tout .
(3) (a) Montrer que est une base orthonormée de .
(b) Montrer que pour , on a .
(Indication : On pourra considérer l'application pour tous et ainsi que sa dérivée.)
(c) Montrer que pour tout élément de .
(d) En déduire que les sous-espaces pour sont orthogonaux deux à deux.
(4) (a) Montrer qu'il existe tel que pour tout .
(b) Calculer la valeur de en fonction des .
(c) En déduire que . Que dire sur et dans le cas d'égalité?

- Partie II

Pour tout , on considère définie pour tout par
(5) (a) Vérifier que l'application appartient à .
(b) Vérifier que si est un espace vectoriel sur et si est linéaire, alors définie pour par est un élément de .
(6) (a) Montrer que pour tout , on a .
(b) Vérifier que pour tout , on a .
(c) Montrer que .
(7) (a) Soient et dans vérifiant pour tout . Montrer que .
(b) Soit . Montrer que si et seulement si est une famille libre.
(c) Vérifier que pour toute famille .
Dans la suite pour tout , on appelle -volume de la quantité
(8) (a) Calculer lorsque est une famille orthonormée de vecteurs de .
(b) On suppose ici que . Soit . On note pr la projection orthogonale sur l'orthogonal de l'espace engendré par la famille que .
(c) Pour toute famille libre , montrer que avec égalité si et seulement si est une famille de vecteurs orthogonaux 2 à 2.
(9) (a) Montrer que si est une famille libre et si est une base orthonormée de , alors où est la matrice de passage de à i.e. pour tout .
(b) Montrer que pour tous , on a .

- Partie III

Soient une base orthonormée de un entier tel que et .
Pour tout , on note et pour tous et éléments de
(10) (a) Montrer que pour tout , on a .
(b) En déduire que est un produit scalaire sur pour lequel est une base orthonormée de et donner la dimension de .
(c) Construire dans le cas une isométrie entre et .
(11) On considère . Montrer que
(12) Montrer que le produit scalaire défini par (1) ne dépend que du produit scalaire sur et non du choix de la base orthonormée .

- Partie IV

Soit . On définit une relation sur l'ensemble des bases d'un sous-espace de dimension de par : et sont en relation si où est le déterminant de dans la base . On admet que cette relation est une relation d'équivalence sur l'ensemble des bases de pour laquelle il existe exactement deux classes d'équivalence appelées orientations de . Un sous-espace orienté est un couple ( ) où est une orientation de .
On note l'ensemble des sous-espaces orientés de dimension de .
(13) (a) Montrer que si et sont deux familles libres de cardinal de alors et sont colinéaires si et seulement si .
(b) Montrer que pour tout sous-espace vectoriel orienté ( ) de dimension de , il existe une unique tel que pour tout on a .
(14) On munit du produit scalaire introduit dans la partie III.
(a) Vérifier que est une injection de dans la sphère de rayon 1 de .
(b) Montrer que est une partie compacte de .
(15) Montrer que est une partie connexe par arcs de si et seulement si . (Indication : On pourra utiliser la question 3d.)
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