X ENS Mathématiques B MP MPI 2025

MARDI 15 AVRIL 2025
08h00-12h00
FILIERES MP-MPI - Epreuve nº 3

MATHEMATIQUES B (X)

Si est un intervalle de d'intérieur non vide et si est une fonction fois dérivable de dans , on note sa dérivée -ième, avec la convention . On dit qu'une fonction de dans est de classe si elle est fois dérivable pour tout entier .
On note le -espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. Si est un entier, on note le sous- -espace vectoriel de constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à . Par convention, on note le sous-espace vectoriel de réduit au polynôme nul. On dit qu'un polynôme est unitaire s'il est non nul et si son coefficient dominant est égal à 1 .
Si est un -espace vectoriel de dimension finie muni d'un produit scalaire, pour tout sous- -espace vectoriel de on note l'orthogonal de dans .
Si et sont deux entiers naturels non nuls, on note l'ensemble des matrices à lignes et colonnes et à coefficients réels. Si , on note . Si , on note la matrice transposée de . Si est une famille de nombres réels indexée par les couples d'entiers tels que et , on note la matrice dont le coefficient à la ligne et la colonne est .
Le problème comporte quatre parties. Les trois premières parties sont indépendantes entre elles. On pourra utiliser des résultats des trois premières parties dans la quatrième et dernière partie.

Soit et deux nombres réels tels que . Soit une fonction de dans . On fixe un entier . On dit que s'annule à l'ordre dans s'il existe des nombres et des entiers strictement positifs tels que et, pour tout entier et tout entier , on a .

1a. Soit un entier. Montrer que si s'annule à l'ordre dans , alors s'annule à l'ordre dans .

1b. Pour tout entier , montrer que si s'annule à l'ordre dans , il existe tel que .
On fixe, pour le reste de cette partie, une fonction de classe de dans . Soit un polynôme non nul, scindé dans et dont toutes les racines sont dans . On note les racines de et, pour tout entier , on note le plus petit entier tel que .

2a. Montrer que si est un polynôme tel que et, pour tout entier et tout entier , alors .

2b. Montrer qu'il existe un unique polynôme tel que et tel que, pour tout entier et tout entier ,

Pour . On pose

3a. On pose . Montrer que, pour tout entier et tout réel , on a

3b. Montrer que la fonction se prolonge de façon unique en une fonction de classe de dans .

4a. Soit et soit un entier . Montrer que

4b. Soient deux polynômes unitaires et scindés dans . Montrer que

On fixe . Pour tout , on pose

5a. Montrer que la fonction s'annule à l'ordre dans l'intervalle .
5b. En déduire que si est unitaire, il existe tel que

On dit qu'une fonction de dans est absolument monotone sur un intervalle si elle est de classe sur et si, pour tout entier , la fonction est à valeurs positives sur . En particulier est à valeurs positives.
6. On suppose que est absolument monotone sur . Montrer que, pour tout polynôme scindé dans , la fonction est absolument monotone sur .

Soit . On fixe un entier pour toute cette partie. Soit une fonction continue. On rappelle que l'on définit un produit scalaire sur en posant, pour tous ,

Soit un polynôme ayant racines réelles distinctes dans . On suppose de plus que .

7a. Montrer qu'il existe des nombres réels tels que, pour tout ,

7b. Montrer que si , on a

Indication : on pourra considérer la division euclidienne de par .
7c. En évaluant l'égalité 11 sur le polynôme , montrer que pour tout .
Pour et , on pose ainsi que . Si et , on pose

7d. Montrer que, pour tout définit un produit scalaire sur .
Dans les questions 8. à 12. ci-dessous, on fixe un entier naturel .
8a. Montrer qu'il existe une unique famille de polynômes unitaires de telle que pour et telle que pour tous ,

8b. On pose . Montrer que est l'unique polynôme unitaire de degré vérifiant, pour tout ,

9a. Soit . Montrer qu'il existe des nombres réels et tels que

9b. Montrer que

9c. Montrer que .

10a. Pour , montrer que le polynôme a exactement racines dans (noter que l'on ne demande pas que les racines appartiennent à l'intervalle ).

10b. Montrer que, pour tout , le polynôme a exactement racines réelles distinctes, que ces racines sont simples et que si sont deux racines consécutives de , il existe une unique racine de dans l'intervalle .

10c. En déduire que, pour tout , on a .
Pour , il existe donc un unique nombre réel tel que

On fixe et on pose

On note les coordonnées de dans la base de .
11a. Montrer que, pour ,

11b. Montrer que, pour tout entier , il existe un réel tel que et en déduire que .
12. Montrer que, si , pour tout , le polynôme est orthogonal à pour le produit scalaire .
13. Soit l'unique base orthogonale de ( ) telle que est un polynôme unitaire de degré pour tout . Montrer que, pour tout , les coefficients du polynôme dans la base sont des nombres réels strictement positifs.
Indication : on pourra noter la base de obtenue dans les questions sa et sb et raisonner par récurrence descendante sur .

Soit un nombre réel strictement positif. Pour tous réels et tels que et , on pose

16a. Pour , montrer que et que, pour tout entier ,

Indication : on pourra commencer par calculer .
16b. En déduire que, pour tout , la fonction est un polynôme de degré dont on déterminera le coefficient dominant ainsi que la parité.
On suppose désormais que . Pour , on pose

17a. Montrer que, pour tout entier et tout ,

17b. En déduire que, pour tout entier , on a .
17c. Montrer que et en déduire que .

17d. Montrer par récurrence sur que pour tout entier et pour tout entier .
Indication : on pourra commencer par démontrer l'égalité

17e. En déduire que, pour tout , la famille est une base orthogonale de muni du produit scalaire .

Pour tout entier , on note le produit scalaire canonique de deux vecteurs et de . On note la sphère unité de , c'est-à-dire

Pour un entier , on note l'ensemble des matrices symétriques telles que, pour tout ,

Soit un entier et soit une fonction de dans . On dit que est de type positif en dimension si, pour tout entier et tout -uplet , on a .
Si et sont deux matrices de , on note la matrice ( ) de .

18a. Montrer que si , alors .

18b. Montrer que si , on a .

18c. Montrer que si , il existe des nombres réels positifs et des vecteurs tels que

Indication : on pourra commencer par écrire où est une matrice inversible et une matrice diagonale à coefficients positifs.

18d. En déduire que si , alors .

18e. Pour tout entier , montrer que le produit de deux fonctions de type positif en dimension est de type positif en dimension .

On rappelle que, pour tout entier , il existe un unique polynôme de degré tel que, pour tout .
19. Montrer que les polynômes sont des fonctions de type positif en dimension 2.

Indication : on pourra utiliser la forme exponentielle du cosinus.
On admettra, dans la suite du problème, que pour tout entier et tout entier , le polynôme est de type positif en dimension .

Pour un entier , on dit qu'un polynôme est -conductif si, pour toute fonction absolument monotone de dans , le polynôme est une fonction de type positif en dimension .
20. Soient et deux polynômes -conductifs. Montrer que si est de type positif en dimension , alors est -conductif.
On fixe un entier et un entier . On admet que le polynôme possède racines réelles simples dans . Soit une fonction absolument monotone.
21. Montrer que le polynôme est une fonction de type positif en dimension .