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X ENS Mathématiques B MP 2015

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Intégrales à paramètresSéries et familles sommablesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Equations différentielles
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X-ENS
Année
2015
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2015MP MathsMaths 2015
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ÉCOLE POLYTECHNIQUE

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - B - (X)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Toute affirmation doit être clairement et complètement justifiée.
Les quatre parties sont largement indépendantes les unes des autres.

Première partie

Dans cette partie, on utilisera à plusieurs reprises la fonction définie par
On admettra que .
1a. Montrer que est bien définie et que pour tout . En déduire que, pour tout .
1b. Montrer que pour tout , on a , puis que
où est la fonction définie sur .
2. On considère dans cette question une fonction continue par morceaux vérifiant les deux propriétés suivantes :
(a) il existe un entier et un réel tels que sur ,
(b) il existe un entier , deux réels et et des réels tels que
On note le reste du développement asymptotique de .
2a. On fixe et . Montrer que pour tout , la fonction est intégrable sur et que pour tout , on a :
En déduire que pour tout ,
2b. On fixe . Montrer l'existence de et d'une constante indépendante de et tels que
2c. En déduire que
2d. On note la fonction définie par :
Montrer que est bien définie sur et qu'elle vérifie la formule asymptotique suivante :
  1. On rappelle que la fonction a été définie à la question .
3a. Tracer le graphe de . Montrer que définit par restriction aux intervalles [ et respectivement
  • une bijection ,
  • une bijection .
On notera et les bijections réciproques.
3b. Montrer que si ,
On admet l'existence de deux séries entières et , de la variable , et de rayon de convergence strictement positif, où et , et telles que l'on ait, pour dans un voisinage de 0 dans ,
3c. Calculer et et . En déduire les développements asymptotiques suivants quand , pour les fonctions et ainsi que leurs dérivées :
3d. Montrer que
3e. En déduire que

Deuxième partie

On considère dans cette partie la fonction définie par
On va voir qu'une série divergente peut être utile pour calculer une valeur approchée de en un point particulier.
4. Montrer que est bien définie et de classe sur .
Pour et , on pose
  1. Montrer que, pour tout et tout .
6a. Préciser le domaine de convergence de la série ! et montrer que la suite n'est pas bornée.
6b. Montrer que, si et ,
En déduire que quand .
6c. Montrer que le reste est de l'ordre du premier terme négligé, c'est-à-dire que pour tout ,
6d. Montrer que, pour , la suite est décroissante jusqu'à un certain rang, puis croissante. (On ne demande pas de montrer cela pour la suite .)
Quand on utilise comme valeur approchée de , on dit que l'erreur relative est
7a. Montrer que, si est pair : avec , et si , on a et
7b. Vérifier que .

Troisième partie

Soit un entier. On considère l'espace des fonctions continues et 1-périodiques en chacune de leurs variables, c'est-à-dire que si l'on note les vecteurs de la base canonique de , on a
est muni de la norme uniforme :
On appelle polynôme trigonométrique (en variables) toute fonction de la forme
où est une partie finie de et on a noté pour le produit scalaire canonique sur ; la norme associée est notée .
L'objectif de cette partie est de montrer que les polynômes trigonométriques en variables sont denses dans , c'est-à-dire que si on se donne et , il existe un polynôme trigonométrique tel que
On admet que ce résultat est vrai en dimension , et on va en déduire la preuve dans le cas de la dimension . On constatera qu'elle se généralise aisément à toutes les dimensions .
Dans toute la suite de cette partie, on se place donc en dimension . On introduit le sous-espace vectoriel de constitué des fonctions de la forme
où et .
8. Montrer que l'ensemble des polynômes trigonométriques en deux variables est dense dans .
On considère, pour un entier, la fonction -périodique définie sur par
En outre, pour les entiers , on définit les fonctions par
  1. Montrer que .
  2. On se donne et un entier, et on pose
10a. Montrer que et coïncide avec aux points pour .
10b. Soient et deux entiers tels que , et
Exprimer comme un barycentre des points où et . En déduire que quand .
11. Conclure que l'ensemble des polynômes trigonométriques en deux variables est dense dans .

Quatrième partie

On se donne et deux fonctions continues et 1 -périodiques en chacun de leurs arguments, et deux paramètres. On considère le problème suivant
assorti des conditions initiales et , où et sont les fonctions inconnues.
Si est continue, on admet que
On note cette quantité et on l'appelle moyenne de .
On suppose dans toute la suite que est de moyenne nulle, c'est-à-dire
On commence par supposer .
12. Déterminer l'unique solution du système (3) avec conditions initiales et .
Le vecteur est dit résonnant s'il existe tel que
  1. Montrer que, si est résonnant, il existe une fonction pour laquelle .
  2. Supposons que n'est pas résonnant.
14a. Montrer que, si est un polynôme trigonométrique, alors est bornée sur .
14b. Montrer que plus généralement, si , alors quand .
15. On suppose désormais (mais proche de 0 ). L'expression déterminée dans la question 12 n'est généralement plus une solution.
On suppose donnée une solution de classe : l'objectif de cette dernière question est d'en obtenir un développement asymptotique. Pour cela, on considère une nouvelle fonction inconnue , de la forme
où est une fonction auxiliaire judicieusement choisie. On cherche qui soit 1périodique en chacun de ses arguments, de classe et de moyenne nulle, et que de plus, pour un certain , elle satisfasse l'équation
(On a noté la différentielle de ).
15a. Déterminer en fonction de . Dans le cas où les deux composantes et de sont des polynômes trigonométriques, en déduire l'existence d'une solution de l'équation (4), que l'on explicitera.
Dans la suite, on suppose de classe , et on admet l'existence d'une telle solution .
15b. Montrer qu'il existe une fonction telle que
et quand .
15c. Soit fixé. Montrer qu'il existe une fonction telle que
et quand .
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